1/(1-2acosx+a^2)のフーリエ級数展開

次のような級数における等式が成立します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{1-2a \cos x+a^2}=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{1-a^2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a^n}{1-a^2} \cos nx  (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{1}{a^2-1}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a^{-n}}{a^2-1} \cos nx  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}
\end{alignat}







<証明>



\((A)\) \(|a| \lt 1\) のとき \(\displaystyle \frac{1-a^2}{1-2a \cos x+a^2}\) を計算します。

分母を因数分解します。
\begin{alignat}{2}
&1-2a \cos x+a^2=1-2a \cdot \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+a^2\\
&              =1-a(e^{ix}+e^{-ix})+a^2\\
&              =(e^{ix}-a)(e^{-ix}-a)\\
&              =e^{ix}(1-ae^{-ix})e^{-ix}(1-ae^{ix})\\
&              =(1-ae^{-ix})(1-ae^{ix})
\end{alignat}

この式の分子において \(ae^{-ix}\) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
&\frac{1-a^2}{1-2a \cos x+a^2}=\frac{1-ae^{-ix}+ae^{-ix}-a^2}{(1-ae^{-ix})(1-ae^{ix})}\\
&               =\frac{1-ae^{-ix}+ae^{-ix}(1-ae^{ix})}{(1-ae^{-ix})(1-ae^{ix})}\\
&               =\frac{1}{1-ae^{ix}}+\frac{ae^{-ix}}{1-ae^{-ix}}
\end{alignat}ここで \(|ae^{\pm ix}|=|a||e^{\pm ix}|=|a| \lt 1\) であるので
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{1-ae^{ix}}=1+ae^{ix}+a^2e^{2ix}+a^3e^{3ix}+ \cdots \\
&        =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a^ne^{inx}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^ne^{inx}\\
&\\
&\frac{ae^{-ix}}{1-ae^{-ix}}=ae^{-ix}(1+ae^{-ix}+a^2e^{-2ix}+a^3e^{-3ix}+ \cdots )\\
&        =ae^{-ix}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a^ne^{-inx}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a^{n+1}e^{-i(n+1)x}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}e^{-inx}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&\frac{1-a^2}{1-2a \cos x+a^2}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}e^{inx}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}e^{-inx}\\
&               =1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}(e^{inx}+e^{-inx})\\
&               =1+2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a^{n}\cos nx\\
\end{alignat}両辺を \(1-a^2\) で割ることで$$\frac{1}{1-2a \cos x+a^2}=\displaystyle \frac{1}{1-a^2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a^n}{1-a^2} \cos nx  (|a| \lt 1)$$




\((B)\) \(|a| \gt 1\) のとき

\((A)\) において \(\displaystyle a=\frac{1}{b}\) とすると、 \(\displaystyle \left|\frac{1}{b}\right| \lt 1\) すなわち \(|b| \gt 1\) であり、

フーリエ級数展開の式は$$\frac{1}{1-\frac{2}{b} \cos x+\frac{1}{b^2}}=\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{b^2}}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2b^{-n}}{1-\frac{1}{b^2}} \cos nx  (|b| \gt 1)$$両辺に \(\displaystyle \frac{1}{b^2}\) を掛けます。$$\frac{1}{b^2-2b \cos x+1}=\displaystyle \frac{1}{b^2-1}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2b^{-n}}{b^2-1} \cos nx$$改めて \(b\) を \(a\) に書き直せば$$\frac{1}{1-2a \cos x+a^2}=\displaystyle \frac{1}{a^2-1}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a^{-n}}{a-1} \cos nx  (|a| \gt 1)$$

“1/(1-2acosx+a^2)のフーリエ級数展開” への1件の返信

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です