(1/(1-x^2)+1/2logx-(1/2))1/logx[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2x \log x}\right)\frac{1}{\log x}dx=\frac{1}{2}\log 2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2 \log x}-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{\log x}dx=\frac{\log 2-1}{2}\\
\end{alignat}














<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{μ-1}-x^{v-1}}{\log x}dx=\log \frac{μ}{v}  (μ,v \gt 0)\\
&(B)  \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx=γ\\
\end{alignat}




\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2x \log x}\right)\frac{x^a}{\log x}dx$$\(I(0)\) を求めます。

\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2x \log x}\right)x^adx=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^a}{1-x^2}+\frac{x^{a-1}}{2 \log x}\right)dx$$\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a}{2}}}{1-t}+\frac{t^{\frac{a-1}{2}}}{ \log t}\right)\frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
2I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a-1}{2}}}{1-t}+\frac{t^{\frac{a}{2}-1}}{ \log x}\right)dt\\
\end{alignat}\(\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log t}+\frac{1}{1-t}\right)dt \) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
2I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a-1}{2}}-1}{1-t}+\frac{t^{\frac{a}{2}-1}-1}{ \log t}\right)dt+\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\
&=ψ(1)-ψ\left(\frac{a+1}{2}\right)+\log \frac{a}{2}+γ\\
&=\log a-\log 2-ψ\left(\frac{a+1}{2}\right)\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$2I(a)=a \log a-a-a \log 2-2 \log Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)+C$$ガンマ関数の近似式$$Γ(x)≒\sqrt{2π}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$$及び \(I(∞)=0\) を用いて定数 \(C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
2I(a)&≒a \log a-a-a \log 2-2 \log \sqrt{2π} e^{-\frac{a+1}{2}}\left(\frac{a+1}{2}\right)^{\frac{a}{2}}+C\\
&=a \log a-a-a \log 2- \log 2π +a+1-a \log \left(\frac{a+1}{2}\right)+C\\
&=a \log a-a-a \log 2- \log 2π+1-a \log (a+1)+a \log 2+C\\
&=-a \log \left(1+\frac{1}{a}\right)+1-\log 2π +C\\
&=- \log \left(1+\frac{1}{a}\right)^a+1-\log 2π +C\\
\end{alignat}\(a \to \infty\) とします。$$2I(\infty)=-1+1 \log 2π+C=0,  C=\log 2π$$よって$$2I(a)=a \log a-a-a \log 2-2 \log Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)+\log2π$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
2I(0)&=-2 \log Γ\left(\frac{1}{2}\right)+\log 2π\\
&=-\log π+\log 2π=\log 2,  I(0)=\frac{1}{2}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2x \log x}\right)\frac{1}{\log x}dx=\frac{1}{2}\log 2$$









\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2 \log x}-\frac{1}{2}\right)\frac{x^a}{\log x}dx$$\(I(0)\) を求めます。

\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2 \log x}-\frac{1}{2}\right)x^adx=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{x^a}{1-x^2}+\frac{x^{a}}{2 \log x}-\frac{1}{2}x^a\right)dx$$\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a}{2}}}{1-t}+\frac{t^{\frac{a}{2}}}{ \log x}-\frac{1}{2}t^{\frac{a}{2}}\right)\frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
2I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a-1}{2}}}{1-t}+\frac{t^{\frac{a-1}{2}}}{ \log t}-\frac{1}{2}t^{\frac{a-1}{2}}\right)dt\\
\end{alignat}\(\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log t}+\frac{1}{1-t}\right)dt \) を引いて加えます。
\begin{alignat}{2}
2I’(a)&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{t^{\frac{a-1}{2}}-1}{1-t}+\frac{t^{\frac{a-1}{2}-1}-1}{ \log t}-\frac{1}{2}t^{\frac{a-1}{2}}\right)dt+\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log t}+\frac{1}{1-t}\right)dt\\
&=ψ(1)-ψ\left(\frac{a+1}{2}\right)+\log\left(\frac{a+1}{2}\right)-\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{a+1}+γ\\
&=\log (a+1)-\log 2-ψ\left(\frac{a+1}{2}\right)-\frac{1}{a+1}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
2I(a)&=(a+1) \log (a+1)-a-a \log 2-2 \log Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)-\log (a+1)+C\\
&=a \log (a+1)-a-a \log 2-2 \log Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)+C\\
\end{alignat}
ガンマ関数の近似式$$Γ(x)≒\sqrt{2π}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$$及び \(I(∞)=0\) を用いて定数 \(C\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
2I(a)&≒a \log (a+1)-a-a \log 2-2 \log \sqrt{2π} e^{-\frac{a+1}{2}}\left(\frac{a+1}{2}\right)^{\frac{a}{2}}+C\\
&=a \log (a+1)-a-a \log 2- \log 2π +a+1-a \log \left(\frac{a+1}{2}\right)+C\\
&=a \log (a+1)-a \log 2- \log 2π+1-a \log (a+1)+a \log 2+C\\
&=-\log 2π +1+C\\
\end{alignat}\(a \to \infty\) とします。(ですが \(a\) を含む項は消えています。)$$2I(\infty)=-\log 2π+1+C=0,  C=\log 2π-1$$よって$$2I(a)=a \log (a+1)-a-a \log 2-2 \log Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)+\log2π-1$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
2I(0)&=-2 \log Γ\left(\frac{1}{2}\right)+\log 2π-1\\
&=-\log π+\log 2π-1=\log 2-1,  I(0)=\frac{\log 2-1}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{2 \log x}-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{\log x}dx=\frac{\log 2-1}{2}$$


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