1/(1-x)^nなどの級数展開

\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1}{(1-x)^n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{n+k-2}\mathrm{C}_{n-1}x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\begin{pmatrix} n+k-2\\ n-1 \end{pmatrix} x^{k-1}\\
&(2)  \frac{1}{(1+x)^n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}{}_{n+k-2}\mathrm{C}_{n-1}x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\begin{pmatrix} n+k-2\\ n-1 \end{pmatrix} x^{k-1}\\
\end{alignat}ただし \(|x| \lt 1\)











<証明>

\((1)\) 次の級数展開を用います。$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots   \left(=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} x^{k-1}\right)  (|x| \lt 1)  \cdots (A)$$両辺を \(2\) 乗します。
\begin{alignat}{2}
\left(\frac{1}{1-x}\right)^2&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )^2\\
&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots)(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots)\\
\end{alignat}展開します。$$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+ \cdots $$

同様に \((A)\) を \(3\) 乗して展開します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{(1-x)^3}&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )^3\\
&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )\\
&\\
&=1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+ \cdots \\
\end{alignat}

\((A)\) を \(4\) 乗して展開します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{(1-x)^4}&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )^4\\
&=(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )\\
&           \times (1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )(1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots )\\
&\\
&=1+4x+10x^2+20x^3+35x^4+ \cdots \\
\end{alignat}

これらを並べてみます。

すると、下図のように係数を斜めに見ることで「パスカルの三角形」が現れていることが分かります。


よって、次のように係数を二項係数を用いて書くことができます。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{1-x}&={}_0\mathrm{C}_0+{}_1\mathrm{C}_1x+{}_2\mathrm{C}_2x^2+{}_3\mathrm{C}_3x^3+{}_4\mathrm{C}_4x^4+ \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k-1}\mathrm{C}_{k-1} x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k-1}\mathrm{C}_0 x^{k-1}\\
\frac{1}{(1-x)^2}&={}_1\mathrm{C}_0+{}_2\mathrm{C}_1x+{}_3\mathrm{C}_2x^2+{}_4\mathrm{C}_3x^3+{}_5\mathrm{C}_4x^4+ \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k}\mathrm{C}_{k-1} x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k}\mathrm{C}_{1} x^{k-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3}&={}_2\mathrm{C}_0+{}_3\mathrm{C}_1x+{}_4\mathrm{C}_2x^2+{}_5\mathrm{C}_3x^3+{}_6\mathrm{C}_4x^4+ \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+1}\mathrm{C}_{k-1} x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+1}\mathrm{C}_{2} x^{k-1}\\
\frac{1}{(1-x)^4}&={}_3\mathrm{C}_0+{}_4\mathrm{C}_1x+{}_5\mathrm{C}_2x^2+{}_6\mathrm{C}_3x^3+{}_7\mathrm{C}_4x^4+ \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+2}\mathrm{C}_{k-1} x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+2}\mathrm{C}_{3} x^{k-1}\\
\frac{1}{(1-x)^5}&={}_4\mathrm{C}_0+{}_5\mathrm{C}_1x+{}_6\mathrm{C}_2x^2+{}_7\mathrm{C}_3x^3+{}_8\mathrm{C}_4x^4+ \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+3}\mathrm{C}_{k-1} x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{k+3}\mathrm{C}_{4} x^{k-1}
&\\
&                     \cdots
\end{alignat}
以上より、上から \(n\) 番目に並ぶ級数は次のようになります。$$\frac{1}{(1-x)^n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} {}_{n+k-2}\mathrm{C}_{n-1}x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\begin{pmatrix} n+k-2\\ n-1 \end{pmatrix} x^{k-1}$$







\((2)\) \((1)\) の \(x\) に \((-x)\) を代入します。$$\frac{1}{(1+x)^n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k-1}{}_{n+k-2}\mathrm{C}_{n-1}x^{k-1}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\begin{pmatrix} n+k-2\\ n-1 \end{pmatrix} x^{k-1}  (|x| \lt 1)$$

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