{(1/2)-S(px)}x^{2μ-1}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(px)\right\}x^{2μ-1}dx=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \sin \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(px)\right\}x^{2μ-1}dx=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \cos \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(\displaystyle p \gt 0,\,0 \lt μ \lt \frac{3}{2}\)













<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \sin axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\sin \frac{pπ}{2}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1} \cos axdx=\frac{Γ(p)}{a^p}\cos \frac{pπ}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,\,0 \lt p \lt 1\)






\((1)\) 次のフレネル積分について$$S(px)=\sqrt{\frac{2}{π}} \displaystyle\int_0^{px} \sin t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}S(px)=p\sqrt{\frac{2}{π}} \sin p^2x^2$$
これを用いて部分積分をします。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(px)\right\}x^{2μ-1}dx\\
&=\left[\frac{1}{2μ}x^{2μ}\left\{\frac{1}{2}-S(px)\right\} \right]_0^{\infty} -\frac{1}{2μ} \left(p\sqrt{\frac{2}{π}} \sin p^2x^2\right)dx\\
&=\frac{p}{μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2μ} \sin p^2x^2dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\) \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{p}{μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ} \sin p^2t \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&=\frac{p}{2μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-\frac{1}{2}} \sin p^2tdt\\
&=\frac{p}{2μ\sqrt{2π}} \cdot \frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}{p^{2\left(μ+\frac{1}{2}\right)}}\sin \left(μ+\frac{1}{2}\right)\frac{π}{2}\\
&=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \sin \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(px)\right\}x^{2μ-1}dx=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \sin \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}$$








\((2)\) 次のフレネル積分について$$C(px)=\sqrt{\frac{2}{π}} \displaystyle\int_0^{px} \cos t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}C(px)=p\sqrt{\frac{2}{π}} \cos p^2x^2$$
これを用いて部分積分をします。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(px)\right\}x^{2μ-1}dx\\
&=\left[\frac{1}{2μ}x^{2μ}\left\{\frac{1}{2}-C(px)\right\} \right]_0^{\infty} -\frac{1}{2μ} \left(p\sqrt{\frac{2}{π}} \cos p^2x^2\right)dx\\
&=\frac{p}{μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2μ} \cos p^2x^2dx\\
\end{alignat}\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\) \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{p}{μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ} \cos p^2t \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}dt\\
&=\frac{p}{2μ\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-\frac{1}{2}} \cos p^2tdt\\
&=\frac{p}{2μ\sqrt{2π}} \cdot \frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right)}{p^{2\left(μ+\frac{1}{2}\right)}}\cos \left(μ+\frac{1}{2}\right)\frac{π}{2}\\
&=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \cos \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(px)\right\}x^{2μ-1}dx=\frac{Γ\left(μ+\frac{1}{2}\right) \cos \frac{(2μ+1)π}{4}}{2\sqrt{2π}μp^{2μ}}$$

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