{(1/2)-S(x)}sin2px[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(x)\right\} \sin 2px dx=\frac{1+ \sin p^2-\cos p^2}{4p}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(x)\right\} \sin 2px dx=\frac{1- \sin p^2-\cos p^2}{4p}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)














<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \sin ax^2 \cos 2bx dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}- \sin \frac{b^2}{a}\right)\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax^2 \cos 2bx dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}+ \sin \frac{b^2}{a}\right)\\
\end{alignat}
ただし、全て \(a,b \gt 0\)







\((1)\) 次のフレネル積分について$$S(x)=\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^x \sin t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}S(x)=\sqrt{\frac{2}{π}} \sin x^2$$
これを用いて部分積分を行います。\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(x)\right\} \sin 2px dx\\
&=\left[-\frac{1}{2p}\cos 2px \left\{\frac{1}{2}-S(x)\right\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos 2px \left(-\sqrt{\frac{2}{π}} \sin x^2\right)dx\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{p\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \sin x^2 \cos 2pxdx\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{p\sqrt{2π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos p^2-\sin p^2)\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{4p}(\cos p^2-\sin p^2)=\frac{1+ \sin p^2-\cos p^2}{4p}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-S(x)\right\} \sin 2px dx=\frac{1+ \sin p^2-\cos p^2}{4p}$$









\((2)\) 次のフレネル積分について$$S(x)=\sqrt{\frac{2}{π}}\displaystyle\int_0^x \cos t^2dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}S(x)=\sqrt{\frac{2}{π}} \cos x^2$$
これを用いて部分積分を行います。\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(x)\right\} \sin 2px dx\\
&=\left[-\frac{1}{2p}\cos 2px \left\{\frac{1}{2}-C(x)\right\}\right]_0^{\infty} +\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos 2px \left(-\sqrt{\frac{2}{π}} \cos x^2\right)dx\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{p\sqrt{2π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \cos x^2 \cos 2pxdx\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{p\sqrt{2π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}(\cos p^2+\sin p^2)\\
&=\frac{1}{4p}-\frac{1}{4p}(\cos p^2+\sin p^2)=\frac{1- \sin p^2-\cos p^2}{4p}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{2}-C(x)\right\} \sin 2px dx=\frac{1-\sin p^2-\cos p^2}{4p}$$

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