1-cosax/x(x-b)[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1- \cos ax}{x^2}dx=\frac{πa}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x-x \cos x}{x^2}dx=1\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax+ x \sin ax}{1+x^2}dx=πe^{-a}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx }{x^2(x^2+β^2)}dx=\frac{π\{(b-a)β+e^{-bβ}-e^{-aβ}\}}{2β^3}\\
&(5) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos ax}{x(x-b)}dx=\frac{π \sin ab}{b}
\end{alignat}
ただし、全て \(a \gt 0, b \gt 0\)








<証明>

\((1)\) 部分積分を行います。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1- \cos ax}{x^2}dx=-\left[\frac{1- \cos ax}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a \sin ax}{x}dx$$左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。$$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos ax}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}(a \sin ax)=0$$よって$$=a\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x}dx=a \cdot \frac{π}{2}=\frac{πa}{2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1- \cos ax}{x^2}dx=\frac{πa}{2}$$








\((2)\) 被積分関数は次の関数を微分したものであるので$$-\left(\frac{\sin x}{x}\right)’=-\frac{x \cos x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x-x \cos x}{x^2}$$これを用いて
$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x-x \cos x}{x^2}dx=-\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}\right)’dx=-\left[\frac{\sin x}{x}\right]_0^{\infty}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$







\((3)\) 次のように積分を切り離すと$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax+ x \sin ax}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{1+x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{1+x^2}dx$$となり、それぞれの積分の値は、下記の積分公式を用いることが出来るので(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2b}\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2}\\
\end{alignat}求める積分値は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{1+x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin ax}{1+x^2}dx=\frac{πe^{-a}}{2}+\frac{πe^{-a}}{2}=πe^{-a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax+ x \sin ax}{1+x^2}dx=πe^{-a}$$







\((4)\) 次のように被積分関数の一部を定積分で表します。$$\cos ax- \cos bx=[\cos tx]_b^a=\displaystyle\int_b^a (\cos tx)’dt=\displaystyle\int_b^a (-x\sin tx)dt$$さらに次のように部分分数分解します。$$\frac{1}{x^2(x^2+β^2)}=\frac{1}{β^2}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+β^2}\right)$$
これらを用いると
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx }{x^2(x^2+β^2)}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \displaystyle\int_b^a \frac{-x \sin tx}{x^2(x^2+β^2)}dx\\
&                   =\frac{1}{β^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \displaystyle\int_b^a \left(\frac{x \sin tx}{x^2+β^2}-\frac{\sin tx}{x}\right)dtdx
\end{alignat}積分の順序を入れ替えて \((3)\) の \((B)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{β^2}\displaystyle\int_b^a \left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x \sin tx}{x^2+β^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin tx}{x}dx\right)dt\\
&=\frac{1}{β^2}\displaystyle\int_b^a\left(\frac{πe^{-tβ}}{2}-\frac{π}{2}\right)dt=\frac{π}{2β^2}\displaystyle\int_b^a (e^{-tβ}-1)dt\\
&=\frac{π}{2β^2}\left[-\frac{1}{β}e^{-tβ}-t\right]_b^a=\frac{π}{2β^3}[-e^{-tβ}-βt]_b^a\\
&=\frac{π}{2β^3}(-e^{aβ}-aβ+e^{-bβ}+bβ)\\
&=\frac{π\{(b-a)β+e^{-bβ}-e^{-aβ}\}}{2β^3}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx }{x^2(x^2+β^2)}dx=\frac{π\{(b-a)β+e^{-bβ}-e^{-aβ}\}}{2β^3}$$







\((5)\) 次のように被積分関数の一部を定積分で表します。$$1- \cos ax=[\cos tx]_a^0=\displaystyle\int_a^0 (\cos tx)’dt=\displaystyle\int_a^0 (-x\sin xt)dt=\displaystyle\int_0^a x \sin xtdt$$これを代入して、積分の順序を入れ替えます。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos ax}{x(x-b)}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_0^a \frac{x \sin xt}{x(x-b)}dtdx=\displaystyle\int_0^a \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin xt}{x-b}dxdt$$\(x-b=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^a \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin (s+b)t}{s}dsdt=\displaystyle\int_0^a \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin (ts+tb)}{s}dsdt\\
&=\displaystyle\int_0^a \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ts \cos tb+ \cos ts \sin tb}{s}dsdt\\
&=\displaystyle\int_0^a \left(\cos tb \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sin ts}{s}ds+\sin tb \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos ts}{s}ds\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^a π\cos tb dt=\frac{π}{b}[\sin bt]_0^a=\frac{π\sin ab}{b}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-\cos ax}{x(x-b)}dx=\frac{π \sin ab}{b}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です