(1-cosax)sinbx/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \sin bx}{x^2}dx=\frac{b}{2} \log \frac{a^2-b^2}{b^2}+\frac{a}{2} \log \frac{a+b}{a-b} (a \gt b)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x}dx=\frac{1}{2} \log \frac{a^2-b^2}{b^2} (a \gt b)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2}(a-b) (a \geq b)\\
\displaystyle 0 (a \lt b)\\
\end{cases}
\end{alignat}
ただし全て \( a \gt 0, b \gt 0\)







<証明>

\((1)\) 積和の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \sin bx}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin bx- \cos ax \sin bx}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\sin bx- 2 \cos ax \sin bx}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\sin bx- \sin (a+b)x +\sin (a-b)x}{x^2}dx\\
\end{alignat}部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\left[\frac{2\sin bx- \sin (a+b)x +\sin (a-b)x}{x}\right]_0^{\infty}\\
&  +\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2b \cos bx -(a+b) \cos (a+b)x+(a-b) \cos (a-b)x}{x}dx
\end{alignat}上の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2\sin bx- \sin (a+b)x +\sin (a-b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{ x \to 0}\{2b \cos bx -(a+b) \cos (a+b)x+(a-b) \cos (a-b)x\}\\
&=2b-(a+b)+(a-b)=0
\end{alignat}
よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \sin bx}{x^2}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2b \cos bx -(a+b) \cos (a+b)x+(a-b) \cos (a-b)x}{x}dx$$被積分関数に \(e^{-tx}\) を掛けたものを \(I(t)\) と置いて \(t\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I(t)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2b \cos bx -(a+b) \cos (a+b)x+(a-b) \cos (a-b)x}{x} \cdot e^{-tx}dx\\
&I’(t)=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \{2b \cos bx -(a+b) \cos (a+b)x+(a-b) \cos (a-b)x\}dx\\
&    =-2b\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+b^2}(b \sin bx -t \cos bx)\right]_0^{\infty}+(a+b)\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(a+b)^2}\{(a+b) \sin (a+b)x-t \cos (a+b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&                  -(a-b)\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(a-b)^2}\{(a-b) \sin (a-b)x -t \cos (a-b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&    =-2b \cdot \frac{t}{t^2+b^2}+(a+b) \cdot \frac{t}{t^2+(a+b)^2}-(a-b) \cdot \frac{t}{t^2+(a-b)^2}
\end{alignat}\(t\) で積分します。$$I(t)=-b \log (t^2+b^2)+\frac{1}{2}(a+b) \log \{t^2+(a+b)^2\}-\frac{1}{2}(a-b) \log \{t^2+(a-b)^2\}+C$$
\(I(∞)=0\) であり、上の式において \(t \to ∞\) とすると
全ての \( \log\) は \(∞\) となるので、これを \(s\) と置くことにすると
\begin{alignat}{2}
&I(∞)=-bs+\frac{1}{2}(a+b)s-\frac{1}{2}(a-b)s\\
&    =-bs+\frac{1}{2}as+\frac{1}{2}bs-\frac{1}{2}as+\frac{1}{2}bs+C=0,  C=0 
\end{alignat}よって$$I(t)=-b \log (t^2+b^2)+\frac{1}{2}(a+b) \log \{t^2+(a+b)^2\}-\frac{1}{2}(a-b) \log \{t^2+(a-b)^2\}$$\(t=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I(0)=-b \log b^2+(a+b) \log (a+b) -(a-b) \log (a-b)\\
&    =-b \log b^2+a \log (a+b) +b \log (a+b) -a \log (a-b)+b \log (a-b)\\
&    =b\{\log (a+b)+\log (a-b) -\log b^2\}+a\{\log (a+b)-\log (a-b)\}\\
&    =b \log \frac{a^2-b^2}{b^2}+a \log \frac{a+b}{a-b}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \sin bx}{x^2}dx=\frac{1}{2}I(0)=\frac{b}{2} \log \frac{a^2-b^2}{b^2}+\frac{a}{2} \log \frac{a+b}{a-b}$$






\((2)\) 積和の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx- \cos ax \cos bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\cos bx- 2 \cos ax \cos bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x}{x}dx\\
\end{alignat}被積分関数に \(e^{-tx}\) を掛けたものを \(I(t)\) と置いて \(t\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I(t)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x}{x}\cdot e^{-tx}dx\\
&I’(t)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-tx} \{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x\}dx\\
&    =-2\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+b^2}(b \sin bx -t \cos bx)\right]_0^{\infty}+\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(a+b)^2}\{(a+b) \sin (a+b)x-t \cos (a+b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&                  +\left[\frac{e^{-tx}}{t^2+(a-b)^2}\{(a-b) \sin (a-b)x -t \cos (a-b)x\}\right]_0^{\infty}\\
&    =-2 \cdot \frac{t}{t^2+b^2}+\frac{t}{t^2+(a+b)^2}+\frac{t}{t^2+(a-b)^2}
\end{alignat}\(t\) で積分します。$$I(t)=-b \log (t^2+b^2)+\frac{1}{2} \log \{t^2+(a+b)^2\}-\frac{1}{2} \log \{t^2+(a-b)^2\}+C$$\(I(∞)=0\) であり、上の式において \(t \to ∞\) とすると
全ての \( \log\) は \(∞\) となるので、これを \(s\) と置くことにすると
\begin{alignat}{2}
&I(∞)=-s+\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}s+C=0,  C=0 
\end{alignat}よって$$I(t)=-b \log (t^2+b^2)+\frac{1}{2} \log \{t^2+(a+b)^2\}-\frac{1}{2} \log \{t^2+(a-b)^2\}$$\(t=0\) のとき$$I(0)=-\log b^2+ \log (a+b)+ \log (a-b)= \log \frac{a^2-b^2}{b^2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x}dx=\frac{1}{2}I(0)=\frac{1}{2} \log \frac{a^2-b^2}{b^2}$$






\((3)\) 積和の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx- \cos ax \cos bx}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\cos bx- 2 \cos ax \cos bx}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x}{x^2}dx\\
\end{alignat}部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{2}\left[\frac{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x}{x}\right]_0^{\infty}\\
&   +\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-2b \sin bx +(a+b) \sin (a+b)x+(a-b) \sin (a-b)x}{x}dx
\end{alignat}上の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{2\cos bx- \cos (a+b)x -\cos (a-b)x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0}\{-2b \sin bx +(a+b) \sin (a+b)x+(a-b) \sin (a-b)x\}=0\\
\end{alignat}よって求める積分は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x^2}dx=-b \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin bx}{x}dx+\frac{a+b}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a+b)x}{x}dx+\frac{a-b}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (a-b)x}{x}dx$$
\((A)\) \(a \gt b\) のとき$$-b \cdot \frac{π}{2}+\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}+\frac{a-b}{2} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(-b+\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\right)=\frac{π}{2}(a-b)$$
\((B)\) \(a=b\) のとき$$-b \cdot \frac{π}{2}+\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(-b+\frac{a+b}{2}\right)=0$$
\((C)\) \(a \lt b\) のとき$$-b \cdot \frac{π}{2}+\frac{a+b}{2}\cdot \frac{π}{2}-\frac{a-b}{2} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\left(-b+\frac{a+b}{2}-\frac{a-b}{2}\right)=0$$
以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1- \cos ax) \cos bx}{x^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2}(a-b) (a \geq b)\\
\displaystyle 0 (a \lt b)\\
\end{cases}
\end{alignat}


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