(1-e^{-x}cost)e^{-(μ-1)x}/(coshx-cost)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{μ+n}  (μ \gt -1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}}{\cosh x-\cos t}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos nt}{μ+n}  (μ \gt 0)\\
\end{alignat}ただし、全て \(t≠2nπ\)








<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nt}\sin nx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin x}{\cosh t -\cos x}  (t \gt 0)$$


\((1)\) \((A)\) の式を、求める積分に合わせて、文字を置き換えます。$$\frac{1}{\cosh x-\cos t}=\frac{2}{\sin t} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \sin nt  \cdots (B)$$両辺に \(e^{-μx}\) を掛けて \([0,∞]\) で積分します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \sin nt \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n)x}dx$$右辺の積分を計算します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n)x}dx=\left[-\frac{e^{-(μ+n)x}}{μ+n}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{μ+n}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{μ+n}$$






\((2)\) \((B)\) の式の両辺に \((1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}\) を掛けて \([0,∞]\) で積分します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin nt \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-nx}(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}dx$$右辺の積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-nx}(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n-1)x}(1-e^{-x}\cos t)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n-1)x}dx+(\cos t)\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n)x}dx\\
&=\left[-\frac{e^{-(μ+n-1)x}}{μ+n-1}\right]_0^{\infty}-(\cos t)\left[-\frac{e^{-(μ+n)x}}{μ+n}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{μ+n-1}-(\cos t)\cdot \frac{1}{μ+n}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}}{\cosh x-\cos t}dx=\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin nt \left\{\frac{1}{μ+n-1}-(\cos t)\cdot \frac{1}{μ+n}\right\}\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt}{μ+n-1}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt \cos t}{μ+n}\right)\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\left(\frac{\sin t}{μ}+\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin nt}{μ+n-1}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt \cos t}{μ+n}\right)\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\left(\frac{\sin t}{μ}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n+1)t}{μ+n}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin nt \cos t}{μ+n}\right)\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\left(\frac{\sin t}{μ}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n+1)t-\sin nt \cos t}{μ+n}\right)\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\left(\frac{\sin t}{μ}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos nt \sin t}{μ+n}\right)\\
&                         =\frac{2}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos nt \sin t}{μ+n}=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos nt}{μ+n}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-e^{-x}\cos t)e^{-(μ-1)x}}{\cosh x-\cos t}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos nt}{μ+n}$$

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