{1/(logx)^2+{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}/(1-x)^2}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{(\log x)^2}-\frac{x}{(1-x)^2}\right\}dx=γ-\frac{1}{2}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \left\{-\frac{1}{(\log x)^2}+\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{(1-x)^2}\right\}dx=-ψ(p)+p-\frac{3}{2}\\
\end{alignat}ただし \(p \gt 0\)















<証明>

\((1)\) 次の不定積分について \( x=e^t\) と置いて部分積分を行います。\((dx=e^tdt)\)$$\displaystyle\int \frac{1}{(\log x)^2}dx=\displaystyle\int \frac{e^t}{t^2}dt=-\frac{e^t}{t}+\displaystyle\int \frac{e^t}{t}dt=-\frac{x}{\log x}+\displaystyle\int \frac{1}{\log x}dx$$定積分で書くと$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(\log x)^2}dx=\left[-\frac{x}{\log x}\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\log x}dx$$となります。同じように$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{(1-x)^2}dx=\left[\frac{x}{1-x}\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x}dx$$であるので、計算する定積分は
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{(\log x)^2}-\frac{x}{(1-x)^2}\right\}dx&=\left[-\frac{x}{\log x}-\frac{x}{1-x}\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx\\
&=-\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{x}{\log x}+\frac{x}{1-x}\right)+γ\\
\end{alignat}極限の部分の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{x}{\log x}+\frac{x}{1-x}\right)&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x(1-x) +x\log x }{(1-x)\log x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{1-2x+\log x+1}{-\log x+\frac{1}{x}-1}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{-2+\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{(\log x)^2}-\frac{x}{(1-x)^2}\right\}dx=γ-\frac{1}{2}$$










\((2)\) \((1)\) と同様に左の積分は$$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{(\log x)^2}dx=\left[-\frac{x}{\log x}\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\log x}dx$$右の積分を部分積分すると
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{(1-x)^2}\\
&=\left[\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{1-x}\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{(p-2)px^{p-1}-(p-1)^2x^{p-2}}{1-x}dx\\
\end{alignat}となるので、元の積分は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \left\{-\frac{1}{(\log x)^2}+\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{(1-x)^2}\right\}dx\\
&=\left[-\frac{x}{\log x}+\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{1-x}\right]_0^1 +\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}-\frac{(p-2)px^{p-1}-(p-1)^2x^{p-2}}{1-x}\right\}dx\\
&=-\displaystyle\lim_{x \to 1}\left\{\frac{x}{\log x}-\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{1-x}\right\} +\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}-\frac{(p-2)px^{p-1}-(p-1)^2x^{p-2}}{1-x}\right\}dx\\
\end{alignat}左の極限の部分の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 1}\left\{\frac{x}{\log x}-\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{1-x}\right\}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x(1-x)-(p-2)x^p \log x+(p-1)x^{p-1} \log x}{(1-x)\log x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{1-2x-(p-2)(px^{p-1}\log x+x^{p-1})+(p-1)\{(p-1)x^{p-2} \log x+x^{p-2}\}}{- \log x+\frac{1}{x}-1}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{-2-(p-2)\left[p \left\{(p-1)x^{p-2} \log x+x^{p-2}\right\}+(p-1) x^{p-2}\right]+(p-1) \left[(p-1)\{(p-2)x^{p-2} \log x+x^{p-3}\}+(p-2)x^{p-3}\right]}{-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}\\
&=\frac{-2-(p-2)(2p-1)+(p-1)(2p-3)}{-2}\\
&=\frac{-2-(2p^2-5p+2)+(2p^2-5p+3)}{-2}=\frac{1}{2}
\end{alignat}右の定積分については、ディガンマ関数の公式が使えるように帳尻を合わせます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}-\frac{(p-2)px^{p-1}-(p-1)^2x^{p-2}}{1-x}\right\}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\log x}dx-(p-2)p \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{1-x}+(p-1)^2 \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-2}}{1-x}dx\\
&=-(p-2)p \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}-1}{1-x}+(p-1)^2 \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-2}-1}{1-x}dx-(p-2)p\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x}dx+(p-1)^2 \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1-x}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\log x}dx\\
&=-(p-2)p \{ψ(1)-ψ(p)\}+(p-1)^2 \{ψ(1)-ψ(p-1)\}+\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{1}{\log x}+\frac{1}{1-x}\right)dx\\
&=(p-2)pγ+(p-2)pψ(p)-(p-1)^2γ-(p-1)^2ψ(p-1)+γ\\
&=(p-2)pψ(p)-(p-1)^2\left\{ψ(p)-\frac{1}{p-1}\right\}\\
&=(p-2)pψ(p)-(p-1)^2ψ(p)+(p-1)=-ψ(p)+p-1
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \left\{-\frac{1}{(\log x)^2}+\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{(1-x)^2}\right\}dx\\
&=-\displaystyle\lim_{x \to 1}\left\{\frac{x}{\log x}-\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{1-x}\right\} +\displaystyle\int_0^1 \left\{\frac{1}{\log x}-\frac{(p-2)px^{p-1}-(p-1)^2x^{p-2}}{1-x}\right\}dx\\
&=-\frac{1}{2}-ψ(p)+p-1=-ψ(p)+p-\frac{3}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \left\{-\frac{1}{(\log x)^2}+\frac{(p-2)x^p-(p-1)x^{p-1}}{(1-x)^2}\right\}dx=-ψ(p)+p-\frac{3}{2}  (p \gt 0)$$

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