(1-x^2)^{n-(1/2)}logx[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^4}}dx=-\frac{π}{8}\log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}dx=-\frac{1}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^3\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}\log xdx=-\frac{π}{4}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left(2\log 2-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)  (n \in \mathrm{N})\\
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+1}}{\sqrt{1-x^4}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+1}\log x}{\sqrt{1-x^4}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x\log x}{\sqrt{1-x^4}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^4=t\) と置きます。\((4x^3dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{a+1}(1-x^4)^{-\frac{1}{2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a+1}{4}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4t^{\frac{3}{4}}}dt\\
&   =\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a-2}{4}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{4}B\left(\frac{a+2}{4},\frac{1}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+2}{4}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{4}+1\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+2}{4}\right)}{Γ\left(\frac{a}{4}+1\right)}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{\sqrt{π}}{4} \cdot \frac{\frac{1}{4}Γ’\left(\frac{a+2}{4}\right)Γ\left(\frac{a}{4}+1\right)-\frac{1}{4}Γ\left(\frac{a+2}{4}\right)Γ’\left(\frac{a}{4}+1\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{4}+1\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{\sqrt{π}}{4} \cdot \frac{1}{4}\left\{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)-Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’(1)\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{16}Γ\left(\frac{1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(1)\right\}\\
&    =\frac{π}{16}(-γ-2\log 2+γ)=-\frac{π}{8}\log 2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^4}}dx=-\frac{π}{8}\log 2$$








\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a(\log x)}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{a-\frac{1}{3}}(1-x^2)^{-\frac{2}{3}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-\frac{1}{6}}(1-t)^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-\frac{2}{3}}(1-t)^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{a}{3}+\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\\
&   =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{3}\right)Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{3}\right)}=\frac{Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{3}\right)}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{3}\right)Γ\left(\frac{a}{3}+\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{3}\right)Γ’\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{3}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{3}\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{1}{4}Γ\left(\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{Γ’\left(\frac{1}{3}\right)Γ\left(\frac{2}{3}\right)-Γ\left(\frac{1}{3}\right)Γ’\left(\frac{2}{3}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{2}{3}\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{1}{4}\frac{\left\{Γ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^2}{Γ\left(\frac{2}{3}\right)}\left\{ψ\left(\frac{1}{3}\right)-ψ\left(\frac{2}{3}\right)\right\}\\
&    =-\frac{1}{4}\left\{Γ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^3 \cdot \frac{\sin \frac{π}{3}}{π} \cdot π\cot \frac{π}{3}=-\frac{1}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^3
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{x(1-x^2)^2}}dx=-\frac{1}{8}\left\{Γ\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^3$$







\((3)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a(1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a(1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}\log xdx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}\log xdx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a(1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}}(1-t)^{n-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{2t^{\frac{1}{2}}}dt\\
&   =\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a-1}{2}}(1-t)^{n-\frac{1}{2}}dt=\frac{1}{2}B\left(\frac{a+1}{2},n+\frac{1}{2}\right)\\
&   =\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+n+1\right)}=\frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{a}{2}+n+1\right)}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{a+1}{2}\right)Γ\left(\frac{a}{2}+n+1\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{a+1}{2}\right)Γ’\left(\frac{a}{2}+n+1\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{2}+n+1\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{1}{4}Γ\left(n+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+1\right)-Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’\left(n+1\right)}{\left\{Γ\left(n+1\right)\right\}^2}\\
&    =\frac{1}{4} \cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n+1\right)}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ\left(n+1\right)\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{π}\cdot \frac{1}{n!}\left(-2\log 2-γ+γ-\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)\\
&    =-\frac{π}{4}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left(2\log 2-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^{n-\frac{1}{2}}\log xdx=-\frac{π}{4}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\left(2\log 2-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right)$$


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