(1-x^2)x^{2n-1}[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1(1-x)^{p-1}xdx=\frac{1}{p(p+1)}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 (1-x)^px^{1-p}dx=\frac{πp(1-p)}{2 \sin pπ}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^ndx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^q x^{2n-1}dx=\frac{(n-1)!}{2(q+1)(q+2) \cdots (q+n)}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^q x^{2n}dx=\frac{(2q)!!}{(2n+1)(2n+3) \cdots (2n+2q+1)}
\end{alignat}









<証明> \((1)\) から \((5)\) までベータ関数を用います。
     また \((3)\) から \((5)\) まで \(x^2=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt\right)\)

\begin{alignat}{2}
(1)   \displaystyle\int_0^1(1-x)^{p-1}xdx&=\displaystyle\int_0^1 x^{2-1}(1-x)^{p-1}dx=B(2,p)\\
&=\frac{Γ(2)Γ(p)}{Γ(p+2)}=\frac{(p-1)!}{(p+1)!}=\frac{1}{p(p+1)}\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^1 (1-x)^px^{1-p}dx&=\displaystyle\int_0^1 x^{(2-p)-1}(1-x)^{(p+1)-1}dx\\
&=B(2-p,p+1)=\frac{Γ(2-p)Γ(p+1)}{Γ(3)}\\
&=\frac{p(1-p)Γ(1-p)Γ(p)}{2}=\frac{πp(1-p)}{2 \sin pπ}
\end{alignat}







\begin{alignat}{3}
(3)  \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^ndx&=\displaystyle\int_0^1 (1-t)^n \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{-\frac{1}{2}}(1-t)^ndt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{1}{2}-1}(1-t)^{(n+1)-1}dt\\
&=\frac{1}{2}B\left(\frac{1}{2},n+1\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ(n+1)}{Γ\left(n+\frac{3}{2}\right)}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2}\cdot\frac{n!}{\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{\sqrt{π}\cdot n!}{2n+1}\cdot \frac{2^n}{(2n-1)!!\sqrt{π}}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^q x^{2n-1}dx&=\displaystyle\int_0^1 (1-t)^q t^n \cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2x}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-1}(1-t)^{(q+1)-1}dt\\
&=\frac{1}{2}B(n,q+1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ(n)Γ(q+1)}{Γ(n+q+1)}\\
&=\frac{(n-1)!q!}{2(n+q)!}=\frac{(n-1)!}{2(q+1)(q+2) \cdots (q+n)} \\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
(5)   \displaystyle\int_0^1 (1-x^2)^q x^{2n}dx&=\displaystyle\int_0^1 (1-t)^qt^n \frac{1}{2\sqrt{t}}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{n-\frac{1}{2}}(1-t)^qdt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1}(1-t)^{(q+1)-1}dt\\
&=\frac{1}{2}B\left(n+\frac{1}{2},q+1\right)=\frac{1}{2} \cdot \frac{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)Γ(q+1)}{Γ\left(n+q+\frac{3}{2}\right)}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2n-1)!!\sqrt{π}\cdot q!}{2^n}\cdot\frac{1}{\left(n+q+\frac{1}{2}\right)Γ\left(n+q+\frac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{(2n-1)!!\sqrt{π}\cdot q!}{2^n(2n+2q+1)}\cdot \frac{2^{n+q}}{(2n+2q-1)!!\sqrt{π}}\\
&=\frac{2^q\cdot q! (2n-1)!!}{(2n+2q+1)!!}=\frac{(2q)!!}{(2n+1)(2n+3) \cdots (2n+2q+1)}
\end{alignat}

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