1/x√log(x/u)log(v/x)[u,v]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 x^{p-1}\sqrt{\log \frac{1}{x}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{p^3}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\sqrt{\frac{π}{p}}\\
&(3) \displaystyle\int_u^v \frac{1}{x\sqrt{\log \frac{x}{u} \log \frac{v}{x}}}dx=π
\end{alignat}ただし、全て \(p,u,v \gt 0\)








<証明>

\((1)(2)\) ではどちらも \(\displaystyle \sqrt{\log \frac{1}{x}}=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&\log \frac{1}{x}=t^2,  -\log x=t^2,  \log x=-t^2\\
&x=e^{-t^2},  dx=-2te^{-t^2}dt\\
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 x^{p-1}\sqrt{\log \frac{1}{x}}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 e^{-(p-1)t^2}\cdot t \cdot (-2te^{-t^2})dt\\
&                   =2 \displaystyle\int_0^{\infty} t^2e^{-pt^2}dt=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} t(e^{-pt^2})’dt\\
&                   =-\frac{1}{p}\left\{\left[te^{-pt^2}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt^2}dt\right\}\\
&                   =\frac{1}{p} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt^2}dt=\frac{1}{p} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{π}{p}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{p^3}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^{p-1}\sqrt{\log \frac{1}{x}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{p^3}}$$








\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 e^{-(p-1)t^2}\cdot \frac{1}{t} \cdot (-2te^{-t^2})dt\\
&                =2\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-pt^2}dt=2 \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{p}}=\sqrt{\frac{π}{p}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}}dx=\sqrt{\frac{π}{p}}$$








\((3)\) \(\log x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left( \frac{1}{x}dx=dt\right)\)$$\displaystyle\int_u^v \frac{1}{x\sqrt{\log \frac{x}{u} \log \frac{v}{x}}}dx=\displaystyle\int_{\log u}^{\log v} \frac{1}{\sqrt{(t- \log u)(\log v-t)}}dt$$\(log u=A, \log v=B\) と置きます。$$=\displaystyle\int_A^B \frac{1}{\sqrt{(t-A)(B-t)}}dt$$\(t-A=s,B-A=C\) と置きます。\((dt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^C \frac{1}{\sqrt{s(C-s)}}ds=\displaystyle\int_0^c \frac{1}{\sqrt{\frac{C^2}{4}-\left(s-\frac{C}{2}\right)^2}}ds=\left[\sin^{-1} \frac{2}{C} \left(s-\frac{C}{2}\right)\right]_0^C\\
&=\sin^{-1}1-\sin^{-1}(-1)=\frac{π}{2}+\frac{π}{2}=π\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_u^v \frac{1}{x\sqrt{\log \frac{x}{u} \log \frac{v}{x}}}dx=π$$

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