1/(x^3+1)とx/(x^3+1)の積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}dx=\frac{1}{6}\log \frac{x^2+2x+1}{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{3}}{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}+C\\
&(2) \displaystyle\int \frac{x}{x^3+1}dx=\frac{1}{6}\log \frac{x^2-x+1}{x^2+2x+1}+\frac{\sqrt{3}}{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}+C
\end{alignat}






<証明>

\((1)\) 分母を因数分解してから、部分分数分解します。$$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}dx$$
次のように部分分数分解が出来たとして \(A,B,C\) の値を求めます。$$\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}=\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} $$
両辺に \((x+1)(x^2-x+1)\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)=1\\
&Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C=1\\
&(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C)=1\\
\end{alignat} \(A+B=0, -A+B+C=0, A+C=1\) が得られるので

これを解くと \(B=-A\) より \(-2A+C=0, 2A-C=0\)

\(A+C=1\) と \(2A-C=0\) を足し合わせて \(\displaystyle 3A=1, A=\frac{1}{3}\)

よって \(\displaystyle B=-\frac{1}{3}, C=\frac{2}{3}\)

以上より、元の積分は次のようになります。 $$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}dx=\displaystyle\int \left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{x-2}{x^2-x+1}\right)dx$$ 左の積分は$$\displaystyle\int \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}dx=\frac{1}{3} \log |x+1|$$右の積分は、分母を平方完成して、分子に \(\displaystyle x-\frac{1}{2}\) を作り出し、分数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx=\displaystyle\int \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx\\
&=\displaystyle\int \left\{\frac{x-\frac{1}{2}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right\}dx\\
&=\frac{1}{2} \log \left\{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}-\sqrt{3} \tan^{-1} \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \log (x^2-x+1)-\sqrt{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}
\end{alignat} よって、積分計算の結果は下記となります。$$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}dx=\frac{1}{3} \log |x+1|-\frac{1}{6} \log (x^2-x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}+C $$







\((2)\) \((1)\) と同様の流れで解きます。$$\displaystyle\int \frac{x}{x^3+1}dx=\displaystyle\int \frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)}dx$$
次のように部分分数分解が出来たとして \(A,B,C\) の値を求めます。$$\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}=\frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)} $$左辺は \((1)\) と同じです。 $$(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C)=x$$よって$$A+B=0, -A+B+C=1, A+C=0$$これを解くと$$A=-\frac{1}{3},  B=\frac{1}{3},  C=\frac{1}{3}$$
以上より、元の積分は次のようになります。 $$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}dx=\displaystyle\int \left(-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}+\frac{1}{3}\cdot \frac{x+1}{x^2-x+1}\right)dx$$ 左の積分について$$-\displaystyle\int \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+1}dx=-\frac{1}{3} \log |x+1|$$右の積分について
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x+1}{x^2-x+1}dx=\displaystyle\int \frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{2}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx\\
&=\displaystyle\int \left\{\frac{x-\frac{1}{2}}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}+\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right\}dx\\
&=\frac{1}{2} \log \left\{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}+\sqrt{3} \tan^{-1} \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \log (x^2-x+1)+\sqrt{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}
\end{alignat} よって、積分計算の結果は下記となります。$$\displaystyle\int \frac{x}{x^3+1}dx=-\frac{1}{3} \log |x+1|+\frac{1}{6} \log (x^2-x+1)+\frac{\sqrt{3}}{3} \tan^{-1} \left\{\frac{\sqrt{3}}{3}(2x-1)\right\}+C $$

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