(1-x^p)x^{v-1}/(1-x^{np})[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^q)x^{v-1}}{1-x^p}dx=\frac{π}{p}\sin \frac{qπ}{p}\csc \frac{vπ}{p}\csc \frac{(q+v)π}{p}  (q+v \lt p)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^p)x^{v-1}}{1-x^{np}}dx=\frac{π}{np}\sin \frac{π}{n}\csc \frac{vπ}{np}\csc \frac{(p+v)π}{np}  [v \lt (n-1)p]\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x)x^{μ-1}}{1-x^n}dx=\frac{π}{n}\sin \frac{π}{n}\csc \frac{μπ}{n}\csc \frac{(μ+1)π}{n}  (0 \lt μ \lt n-1)\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0,\,q \gt 0,\,v \gt 0\)















※先に \((2)\) を証明してから、文字を置き換えることで \((1)\) の式を得ることもできます。


<証明>

\((1)\) \(x^p=t\) と置きます。\((px^{p-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^q)x^{v-1}}{1-x^p}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{v-1}-x^{q+v-1}}{1-x^p}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{v-1}{p}}-t^{\frac{q+v-1}{p}}}{1-t}\cdot \frac{1}{pt^{\frac{p-1}{p}}}dt\\
&=\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{v}{p}-1}-t^{\frac{q+v}{p}-1}}{1-t}dt=\frac{1}{p}\left\{π\cot \frac{vπ}{p}-π\cot \frac{(q+v)π}{p}\right\}\\
&=\frac{π}{p}\left\{\frac{\cos \frac{vπ}{p}}{\sin \frac{vπ}{p}}-\frac{\cos \frac{(q+v)π}{p}}{\sin \frac{(q+v)π}{p}}\right\}\\
&=\frac{π}{p}\csc \frac{vπ}{p}\csc \frac{(q+v)π}{p}\left\{\sin \frac{(q+v)π}{p}\cos \frac{vπ}{p}-\cos \frac{(q+v)π}{p}\sin \frac{vπ}{p}\right\}\\
&=\frac{π}{p}\sin \frac{qπ}{p}\csc \frac{vπ}{p}\csc \frac{(q+v)π}{p}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^q)x^{v-1}}{1-x^p}dx=\frac{π}{p}\sin \frac{qπ}{p}\csc \frac{vπ}{p}\csc \frac{(q+v)π}{p}$$








\((2)\) \(x^{np}=t\) と置きます。\((npx^{np-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^p)x^{v-1}}{1-x^{np}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{v-1}-x^{p+v-1}}{1-x^{np}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{v-1}{np}}-t^{\frac{p+v-1}{np}}}{1-t}\cdot \frac{1}{npt^{\frac{np-1}{np}}}dt\\
&=\frac{1}{np}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{v}{np}-1}-t^{\frac{p+v}{np}-1}}{1-t}dt=\frac{1}{np}\left\{π\cot \frac{vπ}{np}-π\cot \frac{(p+v)π}{np}\right\}\\
&=\frac{π}{np}\left\{\frac{\cos \frac{vπ}{np}}{\sin \frac{vπ}{np}}-\frac{\cos \frac{(p+v)π}{np}}{\sin \frac{(p+v)π}{np}}\right\}\\
&=\frac{π}{np}\csc \frac{vπ}{np}\csc \frac{(q+v)π}{np}\left\{\sin \frac{(p+v)π}{np}\cos \frac{vπ}{np}-\cos \frac{(p+v)π}{np}\sin \frac{vπ}{np}\right\}\\
&=\frac{π}{np}\sin \frac{π}{n}\csc \frac{vπ}{np}\csc \frac{(p+v)π}{np}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x^p)x^{v-1}}{1-x^{np}}dx=\frac{π}{np}\sin \frac{π}{n}\csc \frac{vπ}{np}\csc \frac{(p+v)π}{np}$$







\((3)\) \((1)\) の式で \(q=1,\,v=μ,\,p=n\) とします。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1-x)x^{μ-1}}{1-x^n}dx=\frac{π}{n}\sin \frac{π}{n}\csc \frac{μπ}{n}\csc \frac{(μ+1)π}{n}  (0 \lt μ \lt n-1)$$



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