1/xsinhax[1,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\sinh ax}dx=\frac{π^2}{4a^2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}dx=2G\\
&(3) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\sinh ax}dx=-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} E_i\{-(2n+1)a\}\\
&(4) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\cosh ax}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}E_i\{-(2n+1)a\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)








<証明>

全て、被積分関数の一部を級数で表してから積分します。

\((1)\) \(ax=t\) と置きます。\((adx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\sinh ax}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t}{a} \cdot \frac{1}{\sinh t} \cdot \frac{1}{a}dt=\frac{1}{a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t}{\sinh t}dt\\
&             =\frac{1}{a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} t \cdot \frac{2}{e^t-e^{-t}}dt=\frac{2}{a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} t \cdot \frac{e^{-t}}{1-e^{-2t}}dt\\
&             =\frac{2}{a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} te^{-t}(1+e^{-2t}+e^{-4t}+ \cdots)dt\\
&             =\frac{2}{a^2}\displaystyle\int_0^{\infty} te^{-t}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2nt}dt=\frac{2}{a^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_0^{\infty} te^{-(2n+1)t}dt\\
&             =\frac{2}{a^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{2}{a^2} \cdot \frac{π^2}{8}=\frac{π^2}{4a^2}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\sinh ax}dx=\frac{π^2}{4a^2}$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} x \cdot \frac{2}{e^x-e^{-x}}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} x \cdot \frac{e^{-x}}{1-e^{-2x}}dx\\
&                =2\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}(1-e^{-2x}+e^{-4x}- \cdots)dt\\
&                =2\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-2nx}dx\\
&                =2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-(2n+1)x}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}=2G
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{\cosh x}dx=2G$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\sinh ax}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{e^{ax}-e^{-ax}}dx=2\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{e^{-ax}}{1-e^{-2ax}}dx\\
&                  =2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}(1+e^{-2ax}+e^{-4ax}+ \cdots)dt\\
&                  =2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2anx}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-(2n+1)ax}}{x}dx
\end{alignat}\((2n+1)ax=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{(2n+1)a}^{\infty} e^{-t} \cdot \frac{(2n+1)a}{t} \cdot \frac{1}{(2n+1)a}dt\\
&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_{(2n+1)a}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt=-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} E_i\{-(2n+1)a\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\sinh ax}dx=-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} E_i\{-(2n+1)a\}$$







\begin{alignat}{2}
&(4) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\cosh ax}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{e^{ax}+e^{-ax}}dx=2\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{e^{-ax}}{1+e^{-2ax}}dx\\
&                  =2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}(1-e^{-2ax}+e^{-4ax}- \cdots)dt\\
&                  =2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-2anx}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-(2n+1)ax}}{x}dx
\end{alignat}\((2n+1)ax=t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\displaystyle\int_{(2n+1)a}^{\infty} e^{-t} \cdot \frac{(2n+1)a}{t} \cdot \frac{1}{(2n+1)a}dt\\
&=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\displaystyle\int_{(2n+1)a}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt=-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n E_i\{-(2n+1)a\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x\cosh ax}dx=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}E_i\{-(2n+1)a\}$$

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