(1+e^{-x})^{v}-1/(1+e^{-x})^μ[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1+e^{-x})^v-1}{(1+e^{-x})^μ}dx=ψ(μ)-ψ(μ-v)  (μ \gt v)\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{(1+e^{-x})^μ}\right\}dx=γ+ψ(μ)\\
&(3)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{(1+e^{-x})^v}-\frac{1}{(1+e^{-x})^μ}\right\}dx=ψ(μ)-ψ(v)\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ,v \gt 0\)










<証明>

\((1)(3)\) は次の順番で文字を置き換えます。

\((A)\) \(e^{-x}=t\) \((-tdx=dt)\)

\((B)\) \(1+t=s\) \((dt=ds)\)    \((C)\) \(\displaystyle s=\frac{1}{r}\) \(\displaystyle \left(ds=-\frac{1}{r^2}dr\right)\)



\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1+e^{-x})^v-1}{(1+e^{-x})^μ}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 \frac{(1+t)^v-1}{(1+t)^μ}\left(-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+t)^v-1}{t(1+t)^μ}dt\\
&                       =\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{s^v-1}{(s-1)s^μ}ds=\displaystyle\int_1^0 \frac{r^{-v}-1}{\left(\frac{1}{r}-1\right)r^{-μ}}\left(-\frac{1}{r^2}\right)
dr\\
&                       =\displaystyle\int_0^1 \frac{r^{-v}-1}{(1-r)r^{1-μ}}dr=\displaystyle\int_0^1 \frac{r^{μ-v-1}-r^{μ-1}}{1-r}dr=ψ(μ)-ψ(μ-v)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1+e^{-x})^v-1}{(1+e^{-x})^μ}dx=ψ(μ)-ψ(μ-v)$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{(1+e^{-x})^v}-\frac{1}{(1+e^{-x})^μ}\right\}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \left\{\frac{1}{(1+t)^v}-\frac{1}{(1+t)^μ}\right\}\left(-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{1}{t(1+t)^v}-\frac{1}{t(1+t)^μ}\right\}dt\\
&=\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{1}{(s-1)s^v}-\frac{1}{(s-1)s^μ}\right\}ds=\displaystyle\int_1^0 \left(\frac{r^v}{\frac{1}{r}-1}-\frac{r^μ}{\frac{1}{r}-1}\right)\left(-\frac{1}{r^2}\right)dr\\
&=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{r^{v-1}}{1-r}-\frac{r^{v-1}}{1-r}\right)dr=\displaystyle\int_0^1 \frac{r^{v-1}-r^{μ-1}}{1-r}dr=ψ(μ)-ψ(v)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{(1+e^{-x})^v}-\frac{1}{(1+e^{-x})^μ}\right\}dx=ψ(μ)-ψ(v)$$






\((2)\) \((3)\) の式で \(v=1\) とします。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left\{\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{(1+e^{-x})^μ}\right\}dx=ψ(μ)-ψ(1)=γ+ψ(μ)$$

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