(1+x^2)(logx)^2/(1+x^4)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\frac{3\sqrt{2}}{64}π^3\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\frac{3\sqrt{2}}{32}π^3\\
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a(1+x^2)}{1+x^4}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx$$\(a=0\) のとき$$I’’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx$$となるので \(I’’(0)\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a+x^{a+2}}{1+x^4}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x^4)(x^a+x^{a+2})}{(1-x^4)(1+x^4)}dx\\
&   =\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a+x^{a+2}-x^{a+4}-x^{a+6}}{1-x^8}dx\\
\end{alignat}\(x^8=t\) と置きます。\((8x^7dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{8}}+t^{\frac{a+2}{8}}-t^{\frac{a+4}{8}}-t^{\frac{a+6}{8}}}{1-t} \cdot \frac{1}{8t^{\frac{7}{8}}}dt\\
&   =\frac{1}{8}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a-7}{8}}+t^{\frac{a-5}{8}}-t^{\frac{a-3}{8}}-t^{\frac{a-1}{8}}}{1-t}dt\\
&   =\frac{1}{8}\left\{ψ\left(\frac{a+5}{8}\right)-ψ\left(\frac{a+3}{8}\right)+ψ\left(\frac{a+7}{8}\right)-ψ\left(\frac{a+1}{8}\right)\right\}\\
&I’’(a)=\frac{1}{512}\left\{ψ’’\left(\frac{a+5}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{a+3}{8}\right)+ψ’’\left(\frac{a+7}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{a+1}{8}\right)\right\}\\
\end{alignat}\(a=0\) のとき$$I’’(0)=\frac{1}{512}\left\{ψ’’\left(\frac{5}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{3}{8}\right)+ψ’’\left(\frac{7}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{1}{8}\right)\right\}$$ところで、ディガンマ関数の公式より$$ψ(1-z)-ψ(z)=π\cot πz$$この式の両辺を \(z\) で \(2\) 回微分します。$$ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=\frac{2π^3 \cos πz}{\sin^3 πz}$$右辺を変形します。
\begin{alignat}{2}
&ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=\frac{2π^3 \cos πz}{\sin^3 πz}=2π^3 \cdot \frac{\sin πz \cos πz}{\sin^4 πz}\\
&               =π^3 \sin 2πz \left(\frac{2}{1-\cos 2πz}\right)^2=\frac{4π^3 \sin 2πz}{(1-\cos 2πz)^2}\\
\end{alignat}\(\displaystyle z=\frac{3}{8}\) のとき$$ψ’’\left(\frac{5}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{3}{8}\right)=4π^3 \cdot \frac{\sin \frac{3}{4}π}{\left(1-\cos \frac{3}{4}π\right)^2}=4π^3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\frac{4\sqrt{2}π^3}{(\sqrt{2}+1)^2}$$\(\displaystyle z=\frac{1}{8}\) のとき$$ψ’’\left(\frac{7}{8}\right)-ψ’’\left(\frac{1}{8}\right)=4π^3 \cdot \frac{\sin \frac{π}{4}}{\left(1-\cos \frac{π}{4}\right)^2}=4π^3 \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\frac{4\sqrt{2}π^3}{(\sqrt{2}-1)^2}$$となるので、元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&I’’(0)=\frac{1}{512}\left\{\frac{4\sqrt{2}π^3}{(\sqrt{2}+1)^2}+\frac{4\sqrt{2}π^3}{(\sqrt{2}-1)^2}\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{2}π^3}{128}\left\{\frac{1}{(\sqrt{2}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{2}-1)^2}\right\}\\
&    =\frac{\sqrt{2}π^3}{128} \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2+(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}+1)^2(\sqrt{2}-1)^2}=\frac{\sqrt{2} π^3}{128}\cdot 6=\frac{3\sqrt{2}}{64}π^3
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\frac{3\sqrt{2}}{64}π^3$$








\((2)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx$$右側の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{\left(1+\frac{1}{t^2}\right)(-\log t)^2}{1+\frac{1}{t^4}}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+t^2)(\log t)^2}{1+t^4}dt$$となるので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx\\
&                    =\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+t^2)(\log t)^2}{1+t^4}dt\\
&                    =2\displaystyle\int_0^1 \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{64}π^3=\frac{3\sqrt{2}}{32}π^3\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+x^2)(\log x)^2}{1+x^4}dx=\frac{3\sqrt{2}}{32}π^3$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です