(3-4sin^2ax)sin^2ax[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\cos a- \cos nax) \sin mx}{x}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2}\cos a  (na \gt m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}(\cos a -1)  (na \lt m)\\
\end{cases}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3- \sin^3 x}{x^5}dx=\frac{13}{32}π\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3-4 \sin^2ax)\sin^2 ax}{x}dx=\frac{1}{2}\log 2
\end{alignat}ただし、全て \(a,m,n \gt 0\)







<証明>

\((1)\) 積差の公式で三角関数を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\cos a- \cos nax) \sin mx}{x}dx\\
&=\cos a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin mx}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos nax \sin mx}{x}dx\\
&=\frac{π}{2}\cos a-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (na+m)x- \sin (na-m)x}{x}dx\\
&=\frac{π}{2}\cos a-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (na+m)x}{x}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (na-m)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(na \gt m\) のとき$$=\frac{π}{2}\cos a-\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\cos a$$
\((B)\) \(na \lt m\) のとき$$=\frac{π}{2}\cos a-\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{2}\cos a-\frac{π}{2}=\frac{π}{2}(\cos a-1)$$以上より\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\cos a- \cos nax) \sin mx}{x}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{π}{2}\cos a  (na \gt m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}(\cos a -1)  (na \lt m)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}






\((2)\) 分母の \(x\) の次数が \(1\) 次になるまで部分積分と繰り返します。\(\sin^3 x\) は三倍角の公式で次数を下げます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3- \sin^3 x}{x^5}dx=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4x^3- 4 \sin^3 x}{x^5}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4x^3- 3 \sin x+ \sin 3x}{x^5}dx\\
&=\frac{1}{4}\left\{-\left[\frac{4x^3-3 \sin x +\sin 3x}{4x^4}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{12x^2-3 \cos x +3 \cos 3x}{4x^4}dx \right\}
\end{alignat}左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{4x^3-3 \sin x +\sin 3x}{4x^4}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{12x^2-3 \cos x +3 \cos 3x}{16x^3}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{24x+3 \sin x -9 \sin 3x}{48x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{24+3 \cos x -27 \cos 3x}{96x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-3 \sin x +81 \sin 3x}{96}=0\\
\end{alignat}よって積分に戻ると
\begin{alignat}{2}
&=\frac{3}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{4x^2- \cos x + \cos 3x}{x^4}dx\\
&=\frac{3}{16}\left\{-\left[\frac{4x^2- \cos x +\cos 3x}{3x^3}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8x+ \sin x -3 \sin 3x}{3x^3}dx \right\}
\end{alignat}左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{4x^2- \cos x + \cos 3x}{3x^3}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8x+ \sin x -3 \sin 3x}{9x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8+ \cos x -9 \cos 3x}{18x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{- \sin x +27 \sin 3x}{18}=0\\
\end{alignat}よって積分に戻ると
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{16}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8x+ \sin x -3 \sin 3x}{x^3}dx\\
&=\frac{1}{16}\left\{-\left[\frac{8x+ \sin x -3 \sin 3x}{2x^2}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8+ \cos x -9 \cos 3x}{2x^2}dx \right\}
\end{alignat}左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8x+ \sin x -3 \sin 3x}{2x^2}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8+ \cos x -9 \cos 3x}{4x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{- \sin x +27 \sin 3x}{4}=0\\
\end{alignat}よって積分に戻ると
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{32}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{8+ \cos x -9 \cos 3x}{x^2}dx\\
&=\frac{1}{32}\left\{-\left[\frac{8+ \cos x +9 \cos 3x}{x}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-\sin x +27 \sin 3x}{x}dx \right\}
\end{alignat}左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{8+ \cos x -9 \cos 3x}{x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} (- \sin x +27 \sin 3x)=0\\
\end{alignat}よって求める積分は
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{32}\left(-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx+27 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin 3x}{x}dx\right)\\
&=\frac{1}{32}\left(-\frac{π}{2}+27 \cdot \frac{π}{2}\right)=\frac{13}{32}π
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3- \sin^3 x}{x^5}dx=\frac{13}{32}π$$






\((3)\) 半角の公式で三角関数の次数を下げます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3-4 \sin^2ax)\sin^2 ax}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\{3-2(1- \cos2ax)\}(1-\cos 2ax)}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\{3-2(1- \cos2ax)\}(1-\cos 2ax)}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+ 2\cos2ax)(1-\cos 2ax)}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+ \cos2ax-2\cos ^2 ax)}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(1+ \cos2ax-(1+\cos 4ax)}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \cos2ax-\cos 4ax}{x}dx\\
\end{alignat}ここで次の積分公式を用います。(詳しくはこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}$$
以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(3-4 \sin^2ax)\sin^2 ax}{x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \cos2ax-\cos 4ax}{x}dx=\frac{1}{2}\log \frac{4a}{2a}=\frac{1}{2}\log 2$$

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