a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≧abc(a+b+c)などの不等式

\((1)\)  \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)\) 
             (等号成立条件:\(a=b=c\))

\((2)\)  \(4(a^2+ab+b^2) \geq 3(a+b)^2\)
             (等号成立条件:\(a=b\))

\((3)\)  \(4(a^2-ab+b^2) \geq 3(a-b)^2\)
             (等号成立条件:\(a+b=0\))

\((4)\)  \(6(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) \geq 5\{(a+b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\}\)
             (等号成立条件:\(a=b\))

\((5)\)  \(6(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \geq 5\{(a-b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\}\)
             (等号成立条件:\(a+b=0\))

ただし、全ての文字は実数とする。











<証明>

\((1)\) 次の不等式を展開します。(明らかに等号成立条件は \(a=b=c\))
\begin{alignat}{2}
a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2 &\geq 0\\
&\\
a^2(b^2-2bc+c^2)+b^2(c^2-2ca+a^2)+c^2(a^2-2ab+b^2) &\geq 0\\
&\\
a^2b^2-2a^2bc+a^2c^2+b^2c^2-2ab^2c+a^2b^2+c^2a^2-2abc^2+b^2c^2 & \geq 0\\
&\\
2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2& \geq 0\\
&\\
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2bc-ab^2c-abc^2& \geq 0\\
\end{alignat}移行します。以上より$$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$$







\((2)\) 次の不等式を展開します。(明らかに等号成立条件は \(a=b\))$$(a-b)^2 \geq 0,  a^2-2ab+b^2 \geq 0$$両辺に \(3a^2+6ab+3b^2\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
4a^2+4ab+4b^2 &\geq 3a^2+6ab+3b^2\\
&\\
4(a^2+ab+b^2) &\geq 3(a^2+2ab+b^2)\\
\end{alignat}以上より$$4(a^2+ab+b^2) \geq 3(a+b)^2$$







\((3)\) 次の不等式を展開します。(明らかに等号成立条件は \(a+b=0\))$$(a+b)^2 \geq 0,  a^2+2ab+b^2 \geq 0$$両辺に \(3a^2-6ab+3b^2\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
4a^2-4ab+4b^2 &\geq 3a^2-6ab+3b^2\\
&\\
4(a^2-ab+b^2) &\geq 3(a^2-2ab+b^2)\\
\end{alignat}以上より$$4(a^2-ab+b^2) \geq 3(a-b)^2$$







\((4)\) 次の不等式を展開します。(明らかに等号成立条件は \(a=b\))$$(a-b)^4 \geq 0,  a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \geq 0$$両辺に \(5a^4+10a^3b+10ab^3+5b^4\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
6a^4+6a^3b+6a^2b^2+6ab^3+6b^4 &\geq 5a^4+10a^3b+10ab^3+5b^4\\
&\\
6(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) &\geq 5(a^4+2a^3b+2ab^3+b^4)\\
\end{alignat}右辺を計算します。\(a^2b^2\) を \(2\) つ加えて \(2a^2b^2\) を引きます。
\begin{alignat}{2}
a^4+2a^3b+2ab^3+b^4&=a^4+2a^3b+a^2b^2+b^4+2ab^3+a^2b^2-2a^2b^2\\
&\\
&=a^2(a^2+2ab+b^2)+b^2(a^2+2ab+b^2)-2a^2b^2\\
&\\
&=a^2(a+b)^2+b^2(a+b)^2-2a^2b^2\\
&\\
&=(a+b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\\
\end{alignat}以上より$$6(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4) \geq 5\{(a+b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\}$$







\((5)\) 次の不等式を展開します。(明らかに等号成立条件は \(a+b=0\))$$(a+b)^4 \geq 0,  a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \geq 0$$両辺に \(5a^4-10a^3b-10ab^3+5b^4\) を加えます。
\begin{alignat}{2}
6a^4-6a^3b+6a^2b^2-6ab^3+6b^4 &\geq 5a^4-10a^3b-10ab^3+5b^4\\
&\\
6(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) &\geq 5(a^4-2a^3b-2ab^3+b^4)\\
\end{alignat}右辺を計算します。\(a^2b^2\) を \(2\) つ加えて \(2a^2b^2\) を引きます。
\begin{alignat}{2}
a^4-2a^3b-2ab^3+b^4&=a^4-2a^3b+a^2b^2+b^4-2ab^3+a^2b^2-2a^2b^2\\
&\\
&=a^2(a^2-2ab+b^2)+b^2(a^2-2ab+b^2)-2a^2b^2\\
&\\
&=a^2(a-b)^2+b^2(a-b)^2-2a^2b^2\\
&\\
&=(a-b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\\
\end{alignat}以上より$$6(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \geq 5\{(a-b)^2(a^2+b^2)-2a^2b^2\}$$

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