a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caなどの不等式

\((1)\)  \(a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\) 
             (等号成立条件:\(a=b=c\))

\((2)\)  \(3(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\)
             (等号成立条件:\(a=b=c=d\))

\((3)\)  \(4(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2) \geq 2(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)\)
             (等号成立条件:\(a=b=c=d=e\))

\((4)\)  \(\displaystyle (n-1)\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k^2 \geq 2 \displaystyle\sum_{1 \leq l \leq n,\, 1 \leq m \leq n\,(l ≠m)}a_l a_m\)
             (等号成立条件:\(a_1=a_2=a_3= \cdots =a_n\))

ただし、全ての文字は実数とする。











<証明>

全て \(2\) つの文字の差を取って \(2\) 乗を作り、

これらの和は常に \(0\) 以上であることを用います。

\((1)\) 下記のような不等式を創ります。$$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$$展開整理します。(明らかに等号成立条件は \(a=b=c\))
\begin{alignat}{2}
(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) &\geq 0\\
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc+2ca & \geq 0\\
a^2+b^2+c^2-ab-bc+ca & \geq 0\\
\end{alignat}移項します。以上より$$a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$$







\((2)\) 下記のような不等式を創ります。$$(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2 \geq 0$$展開整理します。(明らかに等号成立条件は \(a=b=c=d\))
\begin{alignat}{2}
(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(a^2-2ad+d^2)+(b^2-2bc+c^2)+(b^2-2bd+d^2)+(c^2-2cd+d^2) &\geq 0\\
&\\
3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-2ab-2ac-2ad-2bc-2bd-2cd & \geq 0\\
\end{alignat}移項します。以上より$$3(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$$







\((3)\) 下記のような不等式を創ります。$$(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(a-e)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(b-e)^2+(c-d)^2+(c-e)^2+(d-e)^2 \geq 0$$展開整理します。(明らかに等号成立条件は \(a=b=c=d=e\))
\begin{alignat}{2}
&(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(a^2-2ad+d^2)+(a^2-2ae+e^2)\\
&         +(b^2-2bc+c^2)+(b^2-2bd+d^2)+(b^2-2be+e^2)+(c^2-2cd+d^2)+(c^2-2ce+e^2)+(d^2-2de+e^2) \geq 0\\
&\\
&4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-2ab-2ac-2ad-2ae-2bc-2bd-2be-2cd-2ce-2de \geq 0\\
\end{alignat}移項します。以上より$$4(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2) \geq 2(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)$$








\((4)\) \((1)\) から \((3)\) までの不等式と同様の流れで示します。

文字の数が \(n\) 個のとき、次のような不等式を作ります。$$(a_1-a_2)^2+(a_1-a_3)^2+ \cdots +(a_{n-1}-a_n)^2+(a_2-a_3)^2+(a_2-a_4)^2+ \cdots +(a_{n-1}-a_n)^2 \geq 0$$(明らかに等号成立条件は \(a_1=a_2= \cdots =a_n\))

展開整理すると、

左辺は \(a_1^2,\,a_2^2, \cdots a_n^2\) がそれぞれ \(n-1\) 個ある式となり、

右辺は \(a_la_m\) (ただし \(l≠m\) であり \(l\) と \(m\) は \(1\) から \(n\) まで全ての自然数を動く)

の全てが \(2\) つずつある式となります。すなわち$$(n-1)(a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2) \geq 2(a_1a_2+a_1a_3+ \cdots +a_1a_n+a_2a_3+a_2a_4+ \cdots +a_{n-1}a_n)$$これをシグマを用いて書き表します。以上より$$\displaystyle (n-1)\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k^2 \geq 2 \displaystyle\sum_{1 \leq l \leq n,\, 1 \leq m \leq n\,(l ≠m)}a_l a_m$$









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