ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≧6abcなどの不等式

\begin{alignat}{2}
&(1)  ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \geq 6abc\\
&\\
&(2)  b^2(a+b)+c^2(b+c)+a^2(c+a) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)\\
&\\
&(3)  a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a) \geq 2(ab^2+bc^2+ca^2)\\
&\\
&(4)  a^3+b^3+c^3 \geq ab(a-2b)+bc(b-2c)+ca (c-2a)+6abc\\
&\\
&(5)  2(a^3+b^3+c^3) \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\
&\\
&(6)  a^3+b^3+c^3 \geq ab(b-2a)+bc(c-2b)+ca (a-2c)+6abc
\end{alignat}ただし、全ての文字は非負。全ての等号成立条件は \(a=b=c\) 。







<証明>

\((1)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
a(b^2-2bc+c^2)+b(c^2-2ac+a^2)+c(a^2-2ab+b^2) & \geq 0\\
&\\
ab^2-2abc+ac^2+bc^2-2abc+a^2b+a^2c-2abc+b^2c & \geq 0\\
&\\
ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+a^2c+b^2c & \geq 6abc\\
\end{alignat}以上より$$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \geq 6abc$$







\((2)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$b(b-c)^2+c(c-a)^2+a(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
b(b^2-2bc+c^2)+c(c^2-2ac+a^2)+a(a^2-2ab+b^2) & \geq 0\\
&\\
b^3-2b^2c+bc^2+c^3-2ac^2+a^2c+a^3-2a^2b+ab^2 & \geq 0\\
&\\
a^3+b^3+c^3 +a^2c+c^2b+b^2a \geq 2a^2b+2b^2c+2c^2a
\end{alignat}以上より$$b^2(a+b)+c^2(b+c)+a^2(c+a) \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)$$







\((3)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$c(b-c)^2+a(c-a)^2+b(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
c(b^2-2bc+c^2)+a(c^2-2ac+a^2)+b(a^2-2ab+b^2) & \geq 0\\
&\\
b^2c-2bc^2+c^3+ac^2-2a^2c+a^3+a^2b-2ab^2+b^3 & \geq 0\\
&\\
a^3+b^3+c^3 +a^2b+b^2c+c^2a \geq 2ab^2+2bc^2+2ca^2
\end{alignat}以上より$$a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a) \geq 2(ab^2+bc^2+ca^2)$$







\((4)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$(a+b)(b-c)^2+(b+c)(c-a)^2+(c+a)(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
(a+b)(b^2-2bc+c^2)+(b+c)(c^2-2ac+a^2)+(c+a)(a^2-2ab+b^2) & \geq 0\\
&\\
(ab^2-2abc+ac^2+b^3-2b^2c+bc^2)+(bc^2-2abc+a^2b+c^3-2ac^2+a^2c)+(a^2c-2abc+b^2c+a^3-2a^2b+ab^2) & \geq 0\\
&\\
a^3+b^3+c^3+2ab^2-a^2b+2bc^2-b^2c+2a^2c-ac^2-6abc &\geq 0
\end{alignat}移行します。$$a^3+b^3+c^3 \geq a^2b-2ab^2+b^2c-2bc^2+ac^2-2a^2c+6abc$$以上より$$a^3+b^3+c^3 \geq ab(a-2b)+bc(b-2c)+ca (c-2a)+6abc$$







\((5)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2+(a+b)(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
(b^2-c^2)(b-c)+(c^2-a^2)(c-a)+(a^2-b^2)(a-b) & \geq 0\\
&\\
(b^3-b^2c-bc^2+c^3)+(c^3-ac^2-a^2c+a^3)+(a^3-a^2b-ab^2+b^3) & \geq 0\\
&\\
2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-c^2a-ca^2 &\geq 0
\end{alignat}移行します。$$2a^3+2b^3+2c^3 \geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c$$以上より$$2(a^3+b^3+c^3) \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$







\((6)\) \(a,b,c\) は \(0\) 以上であるので、次の不等式が成立します。$$(c+a)(b-c)^2+(a+b)(c-a)^2+(b+c)(a-b)^2 \geq 0$$展開整理します。
\begin{alignat}{2}
(c+a)(b^2-2bc+c^2)+(a+b)(c^2-2ac+a^2)+(b+c)(a^2-2ab+b^2) & \geq 0\\
&\\
(b^2c-2bc^2+c^3+ab^2-2abc+ac^2)+(ac^2-2a^2c+a^3+bc^2-2abc+a^2b)+(a^2b-2ab^2+b^3+a^2c-2abc+b^2c) & \geq 0\\
&\\
a^3+b^3+c^3+2a^2b-ab^2+2b^2c-bc^2+2ac^2-a^2c-6abc &\geq 0
\end{alignat}移行します。$$a^3+b^3+c^3 \geq ab^2-2a^2b+bc^2-2b^2c+a^2c-2ac^2+6abc$$以上より$$a^3+b^3+c^3 \geq ab(b-2a)+bc(c-2b)+ca (a-2c)+6abc$$

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