[aexp(-ce^{ax})/(1-e^{-ax})-bexp(-ce^{bx})/(1-e^{-bx})][0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(c+ax)^{-μ}-(c+bx)^{-μ}}{x}dx=c^{-μ}\log \frac{b}{a}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\left(1+\frac{c}{ax}\right)^{ax}-\left(1+\frac{c}{bx}\right)^{bx}\right\}\frac{1}{x}dx=(1-e^c)\log \frac{b}{a}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{a+be^{-px}}{ce^{px}+g+he^{-px}}-\frac{a+be^{-qx}}{ce^{qx}+g+he^{-qx}}\right)\frac{1}{x}dx=\frac{a+b}{c+g+h}\log \frac{q}{p}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{a \exp (-ce^{ax})}{1-e^{-ax}}-\frac{b \exp (-ce^{bx})}{1-e^{-bx}}\right\}dx=e^{-c} \log \frac{b}{a}
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c,p,q \gt 0\)











<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=\{f(0)-f(\infty)\}\log \frac{b}{a}  (a,b \gt 0)$$






\((1)\) \(f(tx)=(c+tx)^{-μ}\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(c+ax)^{-μ}-(c+bx)^{-μ}}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx$$であるので$$f(0)=c^{-μ},  f(∞)=0$$これらを代入すれば$$=\{f(0)-f(\infty)\}\log \frac{b}{a}=c^{-μ}\log \frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(c+ax)^{-μ}-(c+bx)^{-μ}}{x}dx=c^{-μ}\log \frac{b}{a}$$






\((2)\) \(\displaystyle f(tx)=\left(1+\frac{c}{tx}\right)^{tx}\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\left(1+\frac{c}{ax}\right)^{ax}-\left(1+\frac{c}{bx}\right)^{bx}\right\}\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx$$であるので$$f(0)=0,  f(∞)=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{c}{tx}\right)^{tx}=\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{\left(1+\frac{c}{tx}\right)^{\frac{tx}{c}}\right\}^c=e^c$$これらを代入すれば$$=\{f(0)-f(\infty)\}\log \frac{b}{a}=(1-e^c)\log \frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\left(1+\frac{c}{ax}\right)^{ax}-\left(1+\frac{c}{bx}\right)^{bx}\right\}\frac{1}{x}dx=(1-e^c)\log \frac{b}{a}$$







\((3)\) \(\displaystyle f(tx)=\frac{a+be^{-tx}}{ce^{tx}+g+he^{-tx}}\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{a+be^{-px}}{ce^{px}+g+he^{-px}}-\frac{a+be^{-qx}}{ce^{qx}+g+he^{-qx}}\right)\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{f(px)-f(qx)}{x}dx$$であるので$$f(0)=\frac{a+b}{c+g+h},  f(∞)=0$$これらを代入すれば$$=\{f(0)-f(\infty)\}\log \frac{q}{p}=\frac{a+b}{c+g+h}\log \frac{q}{p}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{a+be^{-px}}{ce^{px}+g+he^{-px}}-\frac{a+be^{-qx}}{ce^{qx}+g+he^{-qx}}\right)\frac{1}{x}dx=\frac{a+b}{c+g+h}\log \frac{q}{p}$$







\((4)\) \(\displaystyle f(tx)=\frac{tx \exp (-ce^{tx})}{1-e^{-tx}}\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{a \exp (-ce^{ax})}{1-e^{-ax}}-\frac{b \exp (-ce^{bx})}{1-e^{-bx}}\right\}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{ax \exp (-ce^{ax})}{1-e^{-ax}}-\frac{bx \exp (-ce^{bx})}{1-e^{-bx}}\right\}\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx$$であるので$$f(0)=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{tx}{1-e^{-tx}}\exp (-ce^{tx})=e^{-c},  f(∞)=0$$これらを代入すれば$$=\{f(0)-f(\infty)\}\log \frac{b}{a}=e^{-c}\log \frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{a \exp (-ce^{ax})}{1-e^{-ax}}-\frac{b \exp (-ce^{bx})}{1-e^{-bx}}\right\}dx=e^{-c} \log \frac{b}{a}$$

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