(asinx+bcosx)^{2n}[0,2π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n+1}dx=0\\
&(2) \displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot 2π(a^2+b^2)^n\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)








<証明>

三角関数を合成します。$$a\sin x+b \cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$$\(\displaystyle \cos θ=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin θ=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) とすれば$$=\sqrt{a^2+b^2}(\sin x \cos θ+\cos x\sin θ)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+θ)$$よって$$(A) a\sin x+b \cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+θ)$$


\((1)\) 被積分関数に \((A)\) を代入します。$$\displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n+1}dx=\displaystyle\int_0^{2π}(a^2+b^2)^{n+\frac{1}{2}}\sin^{2n+1} (x+θ)dx$$\(x+θ=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$=(a^2+b^2)^{n+\frac{1}{2}}\displaystyle\int_θ^{2π+θ}\sin^{2n+1} tdt$$\(\sin^{2n+1} t\) は周期が \(2π\) であるから$$=(a^2+b^2)^{n+\frac{1}{2}}\displaystyle\int_0^{2π}\sin^{2n+1} tdt$$積分区間を \(π\) を境に切り離します。$$=(a^2+b^2)^{n+\frac{1}{2}}\left(\displaystyle\int_0^π\sin^{2n+1} tdt+\displaystyle\int_π^{2π}\sin^{2n+1} tdt\right)$$右側の積分について \(t-π=s\) と置きます。\((dt=ds)\)$$\displaystyle\int_π^{2π}\sin^{2n+1} tdt=\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1}(s+π)ds=(-1)^{2n+1}\displaystyle\int_0^π\sin^{2n+1} sds=-\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} s ds$$よって、元の積分計算は$$=(a^2+b^2)^{n+\frac{1}{2}}\left(\displaystyle\int_0^π\sin^{2n+1} tdt-\displaystyle\int_0^π \sin^{2n+1} s ds\right)=0$$以上より$$\displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n+1}dx=0$$








\((2)\) \((1)\) と同様に計算を進めます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n}dx=(a^2+b^2)^n \displaystyle\int_0^{2π} \sin^{2n} (x+θ)dx\\
&                        =(a^2+b^2)^n \displaystyle\int_θ^{2π+θ} \sin^{2n} tdt=(a^2+b^2)^n \displaystyle\int_0^{2π} \sin^{2n} tdt\\
\end{alignat}\(\displaystyle \left[0,\frac{π}{2}\right],\left[\frac{π}{2},π\right],\left[π,\frac{3}{2}π\right],\left[\frac{3}{2}π,2π\right]\) の積分値は等しいので$$=4(a^2+b^2)^n \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{2n} tdt=4(a^2+b^2)^n \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{π}{2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot 2π(a^2+b^2)^n$$以上より$$\displaystyle\int_0^{2π} (a \sin x+b \cos x)^{2n}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot 2π(a^2+b^2)^n$$

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