(a^x-b^x)/(c^x-d^x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{e^{rx}-e^{sx}}dx=\frac{1}{r-s}\left\{ψ\left(\frac{r-q}{r-s}\right)-ψ\left(\frac{r-p}{r-s}\right)\right\}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{p^x-q^x}{r^x-s^x}dx=\frac{1}{\log \frac{r}{s}}\left\{ψ\left(\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)-ψ\left(\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \( 0 \lt p,q,s \lt r\)









<証明>

$$(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{e^{rx}-e^{sx}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{(p-r)x}-e^{(q-r)x}}{1-e^{(s-r)x}}dx$$\(e^{(s-r)x}=t\) と置きます。\([(s-r)tdx=dt]\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_1^0 \frac{t^{\frac{p-r}{s-r}}-t^{\frac{q-r}{s-r}}}{1-t} \cdot \frac{1}{(s-r)t}dt=\frac{1}{r-s}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{p-r}{s-r}-1}-t^{\frac{q-r}{s-r}-1}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{r-s}\left\{ψ\left(\frac{q-r}{s-r}\right)-ψ\left(\frac{p-r}{s-r}\right)\right\}
\end{alignat}
以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{e^{rx}-e^{sx}}dx=\frac{1}{r-s}\left\{ψ\left(\frac{r-q}{r-s}\right)-ψ\left(\frac{r-p}{r-s}\right)\right\}$$







$$(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{p^x-q^x}{r^x-s^x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{p}{r}\right)^x-\left(\frac{q}{r}\right)^x}{1-\left(\frac{s}{r}\right)^x}dx$$\(\displaystyle \left(\frac{s}{r}\right)^x=t\) と置きます。このとき$$x \log \frac{s}{r}=\log t,  \left(\log \frac{s}{r}\right)dx=\frac{1}{t}dt$$また、分子の項について$$\left(\frac{p}{r}\right)^x=\left(\frac{p}{r}\right)^{\frac{\log t}{\log \frac{s}{r}}}=\left\{\left(\frac{p}{r}\right)^{\log t}\right\}^{\frac{1}{\log \frac{s}{r}}}=\left(t^{\log \frac{p}{r}}\right)^{\frac{1}{\log \frac{s}{r}}}=t^{\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}}$$同様に$$\left(\frac{q}{r}\right)^x=t^{\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}}$$となるので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{p^x-q^x}{r^x-s^x}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{t^{\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}}-t^{\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}}}{1-t} \cdot \frac{1}{t \log \frac{s}{r}}dt\\
&             =\frac{1}{\log \frac{r}{s}}\displaystyle\int_0^q \frac{t^{\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}-1}-t^{\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}-1}}{1-t}dt\\
&             =\frac{1}{\log \frac{r}{s}}\left\{ψ\left(\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)-ψ\left(\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{p^x-q^x}{r^x-s^x}dx=\frac{1}{\log \frac{r}{s}}\left\{ψ\left(\frac{\log \frac{q}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)-ψ\left(\frac{\log \frac{p}{r}}{\log \frac{s}{r}}\right)\right\}$$

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