バームクーヘン型・斜軸・円盤の回転体

\((1)\) バームクーヘン型積分

\(y=f(x)\) を \(y\) 軸周りに回転させたときの回転体の体積$$V=2π\displaystyle\int_a^b xf(x)dx$$
\((2)\) 斜軸回転体

\(y=f(x)\) を直線 \(y=mx\) の周りに回転させたときの回転体の体積$$V=π\cos θ\displaystyle\int_a^b \{mx-f(x)\}^2dx$$(ただし \(θ\) は \(y=mx\) と \(x\) 軸とのなす角)


\((3)\) 円盤による回転体

\(x\) 軸から離れ \(θ\) だけ傾いた半径 \(r\) の円(盤)を \(x\) 軸周りに回転させたときに
円盤が通った部分が作る立体の体積$$V=\frac{4}{3}πr^3 \cos θ$$








<証明>

\((1)\)

下の図のように曲線 \(y=f(x)\) 上に2点 \(A,B\) を取り、
その2点から \(x\) 軸まで垂線を下ろし、それぞれの座標を \(x,x+h\) とします。

曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸と \(y\) 軸及び、点 \(A\) から下ろした垂線によって
囲まれる部分を \(y\) 軸周りに回転させたときの立体の体積を \(V(x)\)

曲線 \(y=f(x)\) と \(x\) 軸と \(y\) 軸及び、点 \(B\) から下ろした垂線によって
囲まれる部分を \(y\) 軸周りに回転させたときの立体の体積を \(V(x+h)\) とします。


ここで、底面積を「半径 \(x+h\) の円から半径 \(x\) の円を引いたもの(上の図の右)」とし、高さを\(f(t)\) (\(x \lt t \lt x+h\) の範囲で上手く取る)とすれば、
\(V(x+h)-V(x)\) の体積に等しくすることが出来るので$$V(x+h)-V(x)=\{π(x+h)^2-πx^2\}f(t)$$すなわち$$V(x+h)-V(x)=π(2xh+h^2)f(t)$$という式が成り立ちます。両辺を \(h\) で割ります。$$\frac{V(x+h)-V(x)}{h}=π(2x+h)f(t)$$\(h \to 0\) とすると \(t \to x\) となるので$$V’(x)=2πxf(x)$$両辺を \(x\) で積分すると$$V(x)=2π\displaystyle\int xf(x)dx$$







\((2)\)

下の図のように曲線 \(y=f(x)\) と直線 \(y=mx\) によって囲まれる部分を考え、
これを直線 \(y=mx\) 周りに回転させたときの立体の体積を求めます。

直線 \(y=mx\) 上に2点を取り \(x\) 軸上まで垂線を下ろします。
その \(x\) 座標をそれぞれ \(x,x+h\) とします。

この \(x,x+h\) のそれぞれから左側で得られる回転体の体積を
順に \(V(x),V(x+h)\) として
\(V(x+h)-V(x)\) と近似できる体積を考えます。

それは三角形\(ABH\) を直線 \(y=mx\) 周りで回転させた円錐の側面積に
幅(厚み) \(h\) を掛けたものであるから、
次のような近似式を作ることが出来ます。$$V(x+h)-V(x)≒πAB \cdot AB \cos θ \cdot h$$(ただし、円錐の側面積は \(S=πlr\) であり \(l\) は母線で \(r\) は底面の半径)

ところで \(AB=m(x+h)-f(x+h)\) であるので$$V(x+h)-V(x)≒πh \cos θ \{m(x+h)-f(x+h)\}^2$$両辺を \(h\) で割ります。$$\frac{V(x+h)-V(x)}{h}≒π \cos θ \{m(x+h)-f(x+h)\}^2$$\(h \to 0\) とします。$$V’(x)=π \cos θ \{mx-f(x)\}^2$$よって両辺を \(x\) で積分すれば$$V(x)=π\cos θ\displaystyle\int \{mx-f(x)\}^2dx$$
また \(θ\) は \(y=mx\) と \(x\) 軸とのなす角であるので \(m=\tan θ\) であるから$$V(x)=π\cos θ\displaystyle\int \{(\tan θ)x-f(x)\}^2dx$$と書くこともできます。







\((3)\)

下の図のように中心 \(O\)、半径 \(r\) の円盤が、
\(x\) 軸から離れ \(θ\) だけ傾いているとします。

このとき、この円盤が \(x\) 軸に対して1回転したときに、
円盤が通る部分の立体の体積を求めます。

中心 \(O\) から \(x\) 軸に垂線を下ろし、その点を \(O’\) とします。
点 \(O’\) から \(x\) だけ離れた点を \(P\) とします。(\(O’P=x\))

立体の体積を求めるには
「この点 \(P\) を通り \(x\) 軸に対して垂直な平面で、
求積する立体を切断し、その断面積を求め、
その後、断面積を積分区間\([-r\cos θ,r \cos θ]\) で積分すれば良い」ので

まずは断面積を求めます。(上図の右)

回転前は弦 \(QR\) がただ浮いている状態です。
この弦 \(QR\) が回転したとき、すなわち弦 \(QR\) が通る部分の面積(断面積)は
「中心 \(P\) から最も遠いところにある点 \(Q\) までの長さを半径とする円の面積から、中心 \(P\) から最も近いところにある点 \(S\) までの長さを半径とする円の面積を引けばよい」ので

断面積は$$πPQ^2-πPS^2=π(PQ^2-PS^2)=πQS^2=π(OQ^2-OS^2)=π\left(r^2-\frac{x^2}{\cos^2 θ}\right)$$

よって、求める立体の体積は
\begin{alignat}{2}
&V=\displaystyle\int_{-r \cos θ}^{r \cos θ} π\left(r^2-\frac{x^2}{\cos^2 θ}\right)dx=2π\displaystyle\int_0^{r \cos θ} \left(r^2-\frac{x^2}{\cos^2 θ}\right)dx\\
& =2π\left[r^2x-\frac{1}{3}\cdot \frac{x^3}{\cos^2 θ}\right]_0^{r \cos θ}=2π\left(r^3\cos θ-\frac{1}{3}r^3 \cos θ\right)\\
& =2π \cdot \frac{2}{3}r^3 \cos θ=\frac{4}{3}πr^3 \cos θ
\end{alignat}以上より$$V=\frac{4}{3}πr^3 \cos θ$$

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