ベクトルの外積

\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\) とすると、外積 \(\vec{a} \times \vec{b}\) は
\begin{eqnarray}
\vec{a} \times \vec{b}=\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}

ベクトルの外積の性質や四面体の体積公式を以下に示します。

\((1)\) \(\vec{a} \times \vec{b}=\vec{h}\) とすると

\(\vec{a} \perp \vec{h}\) かつ \(\vec{b} \perp \vec{h}\)  より  \(\vec{a} \cdot \vec{h}=0, \vec{b} \cdot \vec{h}=0\)


\((2)\) 外積の絶対値は二つのベクトルの絶対値を2辺とする
   平行四辺形の面積に等しい$$|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin θ$$(ただし \(θ\) は \(\vec{a},\vec{b}\) のなす角)


\((3)\) 1次独立である \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\) が作る四面体の体積$$V=\frac{1}{6}|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |=\frac{1}{6}|\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) |=\frac{1}{6}|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|$$







<証明>

下図のように、原点を通る平面 \(α\) 上に
\(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\) を置きます。
(ただし \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は一次独立とする。)

また、平面 \(α\) 上を動く点 \(P\) に対する位置ベクトルを
\(\overrightarrow{OP}=\vec{p}=(x,y,z)\) とします。

ここで \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) に対して垂直に伸びるベクトル \(\vec{h}=(p,q,r)\) を求めます。
(この \(\vec{h}\) を \(\vec{a} \times \vec{b}\) と表すことにします。)

\(\vec{p} \perp \vec{h}\) より平面 \(α\) は \(px+qy+cz=0\)

一方、\(\vec{p},\vec{a},\vec{b}\) は同一平面上のベクトルなので
\begin{eqnarray}
\begin{vmatrix}
x & y & z\\
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
\end{vmatrix}=0
\end{eqnarray}が成り立ちます。

この行列式について、1行目で余因子展開を行うと
\begin{eqnarray}
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3\\
b_2 & b_3\\
\end{vmatrix}x-
\begin{vmatrix}
a_1 & a_3\\
b_1 & b_3\\
\end{vmatrix}y+
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & b_2\\
\end{vmatrix}z=0
\end{eqnarray}\(y\) の項のマイナスを用いて、1列目と2列目を入れ替えると
\begin{eqnarray}
\begin{vmatrix}
a_2 & a_3\\
b_2 & b_3\\
\end{vmatrix}x+
\begin{vmatrix}
a_3 & a_1\\
b_3 & b_1\\
\end{vmatrix}y+
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2\\
b_1 & b_2\\
\end{vmatrix}z=0
\end{eqnarray}行列式の計算を行えば$$(a_2b_3-a_3b_2)x+(a_3b_1-a_1b_3)y+(a_1b_2-a_2b_1)z=0$$これは平面 \(α:px+qy+rz=0\) を表しているので
\begin{eqnarray}
\vec{a} \times \vec{b}=\vec{h}=\begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}







\((2)\) 絶対値を付けて2乗します。
\begin{alignat}{2}
&|\vec{a} \times \vec{b}|^2=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2\\
&      =(a_2b_3)^2-2a_2a_3b_2b_3+(a_3b_2)^2+(a_3b_1)^2-2a_1a_3b_1b_3+(a_1b_3)^2+(a_1b_2)^2-2a_1a_3b_1b_2+(a_2b_1)^2\\
\end{alignat}因数分解を行うために \(a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2\) を加えて引きます。
\begin{alignat}{2}    &=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_2^2b_3^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_3^2\\
&    -(a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2a_1a_2b_1b_2+2a_2a_3b_2b_3+2a_3a_1b_3b_1)\\
&=(b_1^2+b_2^2+b_3^2)a_1^2+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)a_2^2+(b_1^2+b_2^2+b_3^2)a_3^2\\
&    -\{(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+(a_3b_3)^2+2(a_1b_1)(a_2b_2)+2(a_2b_2)(a_3b_3)+2(a_3b_3)(a_1b_1)\}\\
&=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\\
&=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2\\
&=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \cos^2 θ\\
&=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(1-\cos^2 θ)=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 \sin^2 θ\\
\end{alignat}以上より$$|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin θ$$となるので、右辺は下図の平行四辺形の面積に一致していることが分かります。





\((3)\)

下の図のような平行六面体の体積を \(V’\) とします。
底面積は \(|\vec{b} \times \vec{c}|\)、高さは \(|\vec{a}| \cos θ\) であるから$$V’=|\vec{b} \times \vec{c}| \cdot |\vec{a}| \cos θ=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$$

上図のオレンジの四面体の体積を \(V\) としたとき \(\displaystyle V=\frac{1}{6}V’\) であるので$$V=\frac{1}{6}|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |$$ベクトルの順番を交代させることで$$V=\frac{1}{6}|\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) |=\frac{1}{6}|\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|$$と表すことも出来ます。

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