ベルヌーイ多項式[2]

ベルヌーイ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  B_n’(x)=nB_{n-1}(x)\\
&(2)  B_n(x)=(-1)^nB_n(1-x)\\
&(3)  B_n(1+x)=(-1)^nB_n(x)\\
&(4)  B_n^{(n)}(0)=n!\\
&(5)  B_n^{(n-1)}(0)=-\frac{n!}{2}\\
&(6)  B_{2k}(1)=B_{2k}(0)=B_{2k}\\
&(7)  B_{2k-1}(1)=B_{2k-1}(0)=0  (k \geq 2)\\
\end{alignat}










<証明>

次のベルヌーイ多項式の母関数を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{xt}}{e^t-1}$$



\((1)\) ベルヌーイ多項式$$B_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}$$の両辺を \(x\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
B_n’(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_k\cdot (n-k)x^{n-k-1}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_n\mathrm{C}_k B_k\cdot (n-k)x^{n-k-1}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n!}{k!(n-k)!}B_k\cdot (n-k)x^{n-k-1}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k!(n-k-1)!}B_k x^{n-k-1}\\
&=n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}B_k x^{n-k-1}\\
&=n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1}\mathrm{C}_kB_k x^{(n-1)-k}=nB_{n-1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$B_n’(x)=nB_{n-1}(x)$$








\((2)\) \((A)\) の式で \(x\) を \(1-x\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(1-x)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{(1-x)t}}{e^t-1}$$右辺を変形すると
\begin{alignat}{2}
\frac{te^{(1-x)t}}{e^t-1}&=\frac{te^t \cdot e^{-xt}}{e^t-1}=\frac{te^{-xt}}{1-e^{-t}}=\frac{(-t)e^{-xt}}{e^{-t}-1}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{(-t)^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nB_n(x)\frac{t^n}{n!}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(1-x)\frac{t^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nB_n(x)\frac{t^n}{n!}$$となるので$$B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x)$$両辺に \((-1)^n\) を掛けます。以上より$$B_n(x)=(-1)^nB_n(1-x)$$


\((3)\) \((2)\) の式の \(x\) を \(1+x\) とします。以上より$$B_n(1+x)=(-1)^nB_n(x)$$







\((4)\) ベルヌーイ多項式
\begin{alignat}{2}
B_n(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}\\
&={}_n\mathrm{C}_0 B_0x^{n}+{}_n\mathrm{C}_1 B_1x^{n-1}+\cdots +{}_n\mathrm{C}_{n-1} B_{n-1}x+{}_n\mathrm{C}_n B_n  \cdot(B)\\
\end{alignat}の両辺を \(n\) 回微分します。$$B_n^{(n)}(x)={}_n\mathrm{C}_0 B_0 \cdot n!=n!$$\(x=0\) とします。以上より$$B_n^{(n)}(0)=n!$$






\((5)\) \((B)\) の式を \(n-1\) 回微分します。$$B_n^{(n-1)}(x)={}_n\mathrm{C}_0 B_0 \cdot n!x+{}_n\mathrm{C}_1 B_1 \cdot (n-1)!$$\(x=0\) とします。$$B_n^{(n-1)}(0)=n \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(n-1)!=-\frac{n!}{2}$$以上より$$B_n^{(n-1)}(0)=-\frac{n!}{2}$$







\((6)\) \((2)\) の式で \(n=2k\) とします。
\begin{alignat}{2}
B_{2k}(x)=(-1)^{2k}B_{2k}(1-x)\\
&\\
B_{2k}(x)=B_{2k}(1-x)\\
\end{alignat}\(x=0\) とします。以上より \([B_n(0)=B_n]\)$$B_{2k}(1)=B_{2k}(0)=B_{2k}$$







\((7)\) \((2)\) の式で \(n=2k-1\) とします。
\begin{alignat}{2}
B_{2k-1}(x)=(-1)^{2k-1}B_{2k-1}(1-x)\\
&\\
B_{2k-1}(x)=-B_{2k-1}(1-x)\\
\end{alignat}\(x=1\) とします。$$B_{2k-1}(1)=-B_{2k-1}(0)$$\(k \geq 2\) のとき \(B_{2k-1}=0\) であるので、以上より$$B_{2k-1}(1)=B_{2k-1}(0)=0  (k \geq 2)$$

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