ベルヌーイ多項式[1]

ベルヌーイ多項式は次式で表されます。$$B_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}$$ただし \(B_k\) はベルヌーイ数。

ベルヌーイ多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  B_0(x)=1\\
&(2)  B_1(x)=x-\frac{1}{2}\\
&(3)  B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}\\
&(4)  B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\
&(5)  B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\\
&(6)  B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\\
&(7)  B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\\
&(8)  B_n(0)=B_n\\
\end{alignat}

\((9)\) ベルヌーイ多項式の母関数$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{xt}}{e^t-1}$$












<証明>

次のベルヌーイ数を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
B_0=1,  &B_1=-\frac{1}{2}\\
B_2=\frac{1}{6},  &B_4=-\frac{1}{30}\\
B_6=\frac{1}{42},  &B_{2k-1}=0  (k \geq 2)\\
\end{alignat}


次のベルヌーイ多項式$$B_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}$$に \(n=0,1,2, \cdots ,6\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
(1)  B_0(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^0 {}_0\mathrm{C}_k B_kx^{0-k}=B_0=1\\
&\\
(2)  B_1(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^1 {}_1\mathrm{C}_k B_kx^{1-k}={}_1\mathrm{C}_0B_0x+{}_1\mathrm{C}_1 B_1=x-\frac{1}{2}\\
&\\
(3)  B_2(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^2 {}_2\mathrm{C}_k B_kx^{2-k}={}_2\mathrm{C}_0B_0x^2+{}_2\mathrm{C}_1 B_1x+{}_2\mathrm{C}_2 B_2\\
&=x^2+2 \left(-\frac{1}{2}\right)x+\frac{1}{6}=x^2-x+\frac{1}{6}\\
&\\
&\\
(4)  B_3(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^3 {}_3\mathrm{C}_k B_kx^{3-k}\\
&={}_3\mathrm{C}_0B_0x^3+{}_3\mathrm{C}_1 B_1x^2+{}_3\mathrm{C}_2 B_2x+{}_3 \mathrm{C}_3\\
&=x^3+3 \left(-\frac{1}{2}\right)x^2+3 \cdot \frac{1}{6}x\\
&=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\
&\\
&\\
(5)  B_4(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^4 {}_4\mathrm{C}_k B_kx^{4-k}\\
&={}_4\mathrm{C}_0B_0x^4+{}_4\mathrm{C}_1 B_1x^3+{}_4\mathrm{C}_2 B_2x^2+{}_4 \mathrm{C}_3B_3x+{}_4\mathrm{C}_4B_4\\
&=x^4+4 \left(-\frac{1}{2}\right)x^3+6 \cdot \frac{1}{6}x^2-\frac{1}{30}\\
&=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\\
&\\
&\\
(6)  B_5(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^5 {}_5\mathrm{C}_k B_kx^{5-k}\\
&={}_5\mathrm{C}_0B_0x^5+{}_5\mathrm{C}_1 B_1x^4+{}_5\mathrm{C}_2 B_2x^3+{}_5 \mathrm{C}_3B_3x^2+{}_5\mathrm{C}_4B_4x+{}_5\mathrm{C}_5B_5\\
&=x^5+5 \left(-\frac{1}{2}\right)x^4+10 \cdot \frac{1}{6}x^3+5 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right)x\\
&=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\\
&\\
&\\
(7)  B_6(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^6 {}_6\mathrm{C}_k B_kx^{6-k}\\
&={}_6\mathrm{C}_0B_0x^6+{}_6\mathrm{C}_1 B_1x^5+{}_6\mathrm{C}_2 B_2x^4+{}_6 \mathrm{C}_3B_3x^3+{}_6\mathrm{C}_4B_4x^2+{}_6\mathrm{C}_5B_5x+{}_6\mathrm{C}_6\\
&=x^6+6 \left(-\frac{1}{2}\right)x^5+15 \cdot \frac{1}{6}x^4+15 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right)x^2+\frac{1}{42}\\
&=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}
\end{alignat}





\((8)\) ベルヌーイ多項式
\begin{alignat}{2}
B_n(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}\\
&={}_n\mathrm{C}_0 B_0x^{n}+{}_n\mathrm{C}_1 B_1x^{n-1}+\cdots +{}_n\mathrm{C}_{n-1} B_{n-1}x+{}_n\mathrm{C}_n B_n\\
\end{alignat}において \(x=0\) とすると、末項のみ残るので、以上より$$B_n(0)=B_n$$







\((9)\) ベルヌーイ多項式の母関数の左辺が、右辺に等しいことを示します。

左辺の \(B_n(x)\) にベルヌーイ多項式そのものを代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}B_n(x) \frac{t^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k B_kx^{n-k}\right) \frac{t^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} B_kx^{n-k}\right\} \frac{t^n}{n!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{B_kx^{n-k}t^n}{k!(n-k)!}\right\}\\
\end{alignat}次の二重シグマの交換式を用います。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{k=0}^n a_{k,n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}a_{k,n}$$交換後、右のシグマのスタートを \(n=0\) にずらします。$$=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}\frac{B_kx^{n-k}t^n}{k!(n-k)!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_kx^n t^{n+k}}{k!n!}$$\(k\) と \(n\) を分離します。$$=\left( \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} B_k \frac{t^k}{k!}\right)\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(xt)^n}{n!}\right\}=\frac{t}{e^t-1} \cdot e^{xt}=\frac{te^{xt}}{e^t-1}$$以上より$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{xt}}{e^t-1}$$

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