ベルヌーイ数の一般項

ベルヌーイ数 \(B_n\) は次の関数のマクローリン展開における係数です。$$f(x)=\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n$$一般項は
\begin{alignat}{2}
B_n=
\begin{cases}
-\displaystyle\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} \mathrm{C}_k \cdot B_k   (n \geq 1)\\
1    (n=0)
\end{cases}
\end{alignat}








<証明>

\(\displaystyle\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n\) の両辺に \(e^x-1\) を掛けて
右辺を無限級数の積で表します。$$x=(e^x-1) \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n $$$$x=\left(\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)\left(\frac{B_0}{0!}x^0+\frac{B_1}{1!}x+\frac{B_2}{2!}x^2+ \cdots\right)$$$$1=\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+ \cdots\right)\left(\frac{B_0}{0!}x^0+\frac{B_1}{1!}x+\frac{B_2}{2!}x^2+ \cdots\right)$$ これらをシグマでまとめて表したいので、
展開する際に \(x\) の次数の低いものから並べていきます。
$$1=\frac{B_0}{0!}\cdot\frac{x^0}{1!}+\left(\frac{B_0}{0!}\cdot\frac{1}{2!}+\frac{B_1}{1!}\cdot\frac{1}{1!}\right)x$$$$+\left(\frac{B_0}{0!}\cdot \frac{1}{3!}+\frac{B_1}{1!}\cdot\frac{1}{2!}+\frac{B_2}{2!}\cdot\frac{1}{1!}\right)x^2+ \cdots $$$$\cdots+\left\{\frac{B_0}{0!}\cdot\frac{1}{(n+1)!}+\frac{B_1}{1!}\cdot\frac{1}{n!}+\frac{B_2}{2!}\cdot\frac{1}{(n-1)!}+ \cdots +\frac{B_n}{n!}\cdot\frac{1}{1!}\right\}x^n+ \cdots$$ ここで \(x^n\) の係数をシグマを用いて表すと次の式になります。$$\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{B_k}{k!}\cdot \frac{1}{(n-k+1)!}x^n$$この \(n\) を \(0\) から \(∞\) まで和を取れば元の式の右辺になりますので$$1=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{B_k}{k!}\cdot \frac{1}{(n-k+1)!}x^n\right\}$$ \(n=0\) のとき \(k=0\) だから$$1=\frac{B_0}{0!}\cdot \frac{x^0}{1!} , B_0=1$$\(n \geq 1\) のとき両辺を恒等的に見て(左辺の \(x\) の次数は \(0\) であるから)$$ \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{B_k}{k!(n-k+1)!}=0 $$ \(k=n\) のときを外に出して(\(B_n\) を取り出す)、式の形を整えます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{B_k}{k!(n-k+1)!}+\frac{B_n}{n!}=0\\
&\frac{B_n}{n!}=-\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{B_k}{k!(n-k+1)!}\\
&B_n=-\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}B_k\\
&B_n=-\frac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1}\mathrm{C}_k \cdot B_k  (n \geq 1)
\end{alignat}


いくつかベルヌーイ数を計算してみます。
\begin{alignat}{2}
&B_1=-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=0}^0 {}_{2}\mathrm{C}_kB_k=-\frac{1}{2}{}_2\mathrm{C}_0B_0=-\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1=-\frac{1}{2}\\
&B_2=-\frac{1}{3}\displaystyle\sum_{k=0}^1 {}_3\mathrm{C}_k B_k=-\frac{1}{3}({}_3\mathrm{C}_0 B_0+{}_3\mathrm{C}_1 B_1)\\
&  =-\frac{1}{3}\left\{1 \cdot 1+3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right\}=-\frac{1}{3}\left(1-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{6} \\
&B_3=-\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=0}^2 {}_4\mathrm{C}_k B_k=-\frac{1}{4}({}_4\mathrm{C}_0 B_0+{}_4\mathrm{C}_1 B_1+ {}_4\mathrm{C}_2 B_2 )\\
&  =-\frac{1}{4}\left\{1 \cdot 1+4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+6 \cdot \frac{1}{6}\right\}=\frac{1}{4}(1-2+1)=0 \\
&B_4=-\frac{1}{5}\displaystyle\sum_{k=0}^3 {}_5\mathrm{C}_k B_k=-\frac{1}{5}({}_5\mathrm{C}_0 B_0+{}_5\mathrm{C}_1 B_1+ {}_5\mathrm{C}_2 B_2+{}_5\mathrm{C}_3 B_3) \\
&  =-\frac{1}{5}\left\{1 \cdot 1+5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+10 \cdot \frac{1}{6}+10 \cdot 0\right\}\\
&  =-\frac{1}{5}\left(1-\frac{5}{2}+\frac{5}{3}\right)=-\frac{1}{30} \\
&B_5=-\frac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=0}^4 {}_6\mathrm{C}_k B_k=-\frac{1}{6}({}_6\mathrm{C}_0 B_0+{}_6\mathrm{C}_1 B_1+ {}_6\mathrm{C}_2 B_2+{}_6\mathrm{C}_3 B_3+{}_6\mathrm{C}_4 B_4)\\
&  =-\frac{1}{6}\left\{1 \cdot 1+6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+15 \cdot \frac{1}{6}+15 \cdot 0+15 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right)\right\}\\
&  =-\frac{1}{6}\left(1-3+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)=0\\
&B_6=-\frac{1}{7}\displaystyle\sum_{k=0}^5 {}_7\mathrm{C}_k B_k=-\frac{1}{7}({}_7\mathrm{C}_0 B_0+{}_7\mathrm{C}_1 B_1+ {}_7\mathrm{C}_2 B_2+{}_7\mathrm{C}_4 B_4) \\
&    (B_3=0, B_5=0)\\
&  =-\frac{1}{7}\left\{1 \cdot 1+7 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+21 \cdot \frac{1}{6}+35 \cdot \left(-\frac{1}{30}\right)\right\}\\
&  =-\frac{1}{7}\left(1-\frac{7}{2}+\frac{7}{2}-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{42}
\end{alignat}

ここでベルヌーイ数 \(B_n\) において \(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき \(0\) になるのではないかと考えられます。ここまでの計算で得られた値を代入してみると
\begin{alignat}{2}
&f(x)=\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n\\
&   =B_0+\frac{B_1}{1!}x+\frac{B_2}{2!}x^2+\frac{B_3}{3!}x^3+\frac{B_4}{4!}x^4+\frac{B_5}{5!}x^5+ \cdots\\
&   =1-\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{1!}+\frac{1}{6} \cdot \frac{x^2}{2!}-\frac{1}{30} \cdot \frac{x^4}{4!}+\frac{1}{42} \cdot \frac{x^6}{6!}+ \cdots
\end{alignat} \(\displaystyle -\frac{1}{2}x\) の項を左辺に移項します。$$f(x)+\frac{x}{2}=1+\frac{1}{6} \cdot \frac{x^2}{2!}-\frac{1}{30}\cdot \frac{x^4}{4!}+\frac{1}{42} \cdot \frac{x^6}{6!}+ \cdots $$ このとき、左辺の関数が偶関数であればベルヌーイ数 \(B_n\) において \(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき \(0\) になることを示せますから
\(\displaystyle g(x)=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}\) が \(g(-x)=g(x)\) を満たすことを確認します。
\begin{alignat}{2}
&g(-x)=\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{x}{2}=\frac{xe^x}{e^x-1}-\frac{x}{2}=\frac{xe^x-x+x}{e^x-1}-\frac{x}{2}\\
&     =\frac{x(e^x-1)+x}{e^x-1}=x+\frac{x}{e^x-1}-\frac{x}{2}=\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}=g(x)
\end{alignat}よって \(g(x)\) は偶関数ですので右辺に \(x\) の奇数乗の項は現れないことが分かりました。すなわち、ベルヌーイ数 \(B_n\) の値は \(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき \(0\) となります。

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