ベルヌーイ多項式[3]

ベルヌーイ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)=0\\
&(2)  B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2-4^n}{4^n}B_{2n}\\
&(3)  B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\\
&(4)  B_{m+1}(n)=B_{m+1}+(m+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^m\\
\end{alignat}









<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \mathrm{csch}\,x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{xt}}{e^t-1}\\
\end{alignat}






\((1)(2)\) \((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^n}{n!}=\frac{te^{\frac{1}{2}x}}{e^t-1}=\frac{t}{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}=\frac{t}{2}\,\mathrm{csch}\, \frac{t}{2}$$\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\frac{t}{2}\,\mathrm{csch}\, \frac{t}{2}&=\frac{t}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!} \left(\frac{t}{2}\right)^{2n-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2-4^n)B_{2n}}{(2n)!} \left(\frac{t}{2}\right)^{2n}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(2-4^n)B_{2n}}{4^n(2n)!} \cdot \frac{t^{2n}}{n!}\\
\end{alignat}一方、左辺について、偶奇でシグマを分けます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n}}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!}B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n}}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n+1)!}B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n+1}}{n!}\\
\end{alignat}すなわち$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!}B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n}}{n!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n+1)!}B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2n+1}}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(2-4^n)B_{2n}}{4^n(2n)!} \cdot \frac{t^{2n}}{n!}$$両辺を比較すれば、次式を得ます。
\begin{cases}
\displaystyle \frac{n!}{(2n+1)!}B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)=0\\
\displaystyle \frac{n!}{(2n)!}B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{n!(2-4^n)B_{2n}}{4^n(2n)!}\\
\end{cases}以上より\begin{cases}
\displaystyle B_{2n+1}\left(\frac{1}{2}\right)=0\\
\displaystyle B_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2-4^n}{4^n}B_{2n}
\end{cases}







\((3)\) \((B)\) の式の \(x\) に \(x+1\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x+1)\frac{t^n}{n!}&=\frac{te^{(x+1)t}}{e^t-1}=\frac{te^{xt} \cdot e^t}{e^t-1}=\frac{te^{xt} \cdot \{(e^t-1)+1\}}{e^t-1}\\
&=te^{xt}+\frac{te^{xt}}{e^t-1}=te^{xt}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \{B_n(x+1)-B_n(x)\}\frac{t^n}{n!}=te^{xt}$$右辺を変形します。
\begin{alignat}{2}
te^{xt}&=t \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(xt)^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^nt^{n+1}}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n \cdot (n+1) \cdot \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \cdot n \cdot \frac{t^{n}}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (nx^{n-1})\frac{t^{n}}{n!}\\
\end{alignat}すなわち$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \{B_n(x+1)-B_n(x)\}\frac{t^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (nx^{n-1})\frac{t^{n}}{n!}$$以上より$$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}$$








\((4)\) \((3)\) の式で \(x=k\) とします。$$B_n(k+1)-B_n(k)=nk^{n-1}$$さらに \(n=m+1\) とします。$$B_{m+1}(k+1)-B_{m+1}(k)=(m+1)k^{m}$$
\(k=1\) から \(n-1\) までの和を取ります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \{B_{m+1}(k+1)-B_{m+1}(k)\}&=(m+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^m\\
B_{m+1}(n)-B_{m+1}(1)&=(m+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k^m\\
\end{alignat}移項します。以上より$$B_{m+1}(n)=B_{m+1}+(m+1)\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^m$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です