ベルヌーイ多項式[4]

ベルニーイ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 B_n(x)dx=
\begin{cases}
1  &(n=0)\\
0  &(n≠0)\\
\end{cases}\\
&(2)  \displaystyle\int_a^x B_n(t)dt= \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}\\
&(3)  \displaystyle\int_x^{x+1} B_n(t)dt=x^n\\
&(4)  \displaystyle\sum_{k=1}^n k^m=\frac{B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)}{m+1}\\
\end{alignat}














<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  B_n’(x)=nB_{n-1}(x)\\
&(B)  B_{2k}(1)=B_{2k}(0)=B_{2k}\\
&(C)  B_{2k-1}(1)=B_{2k-1}(0)=0  (k \geq 2)\\
&(D)  B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\\
\end{alignat}






\((1)\) 分子と分母に \(n+1\) を掛けて \((A)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 B_n(x)dx&=\frac{1}{n+1} \displaystyle\int_0^1 (n+1)B_n(x)dx=\frac{1}{n+1} \displaystyle\int_0^1 B_{n+1}’(x)dx\\
&=\frac{1}{n+1}[B_{n+1}(x)]_0^1=\frac{1}{n+1}\{B_{n+1}(1)-B_{n+1}(0)\}\\
\end{alignat}
\(k \in \mathrm{N}\) として \(n\) が偶数のときと奇数のときを調べます。

\((B)(C)\) の式を用います。

\((α)\) \(n=2k\) のとき$$=\frac{1}{n+1}\{B_{2k+1}(1)-B_{2k+1}(0)\}=0$$
\((β)\) \(n=2k-1\) のとき$$=\frac{1}{2k}\{B_{2k}(1)-B_{2k}(0)\}=0$$
また \(n=0\) のとき$$=B_1(1)-B_1(0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$となるので、以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 B_n(x)dx=
\begin{cases}
1  &(n=0)\\
0  &(n≠0)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_a^x B_n(t)dt&=\frac{1}{n+1}\displaystyle\int_a^x (n+1)B_n(t)dt\\
&=\frac{1}{n+1}\displaystyle\int_a^x B_{n+1}’(t)dt=\frac{1}{n+1}[B_{n+1}]_a^x\\
&=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_a^x B_n(t)dt= \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$$







\((3)\) \((2)\) を用いると$$\displaystyle\int_x^{x+1} B_n(t)dt= \frac{B_{n+1}(x+1)-B_{n+1}(x)}{n+1}$$さらに \((D)\) の式を用いることで$$=\frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^n=x^n$$以上より$$\displaystyle\int_x^{x+1} B_n(t)dt=x^n$$







\((4)\) \((3)\) の式の \(n\) を \(m\) とします。$$\displaystyle\int_x^{x+1} B_m(t)dt=x^m$$この式の \(x=1,2,3, \cdot ,n\) とした式を足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_1^2 B_m(t)dt+\displaystyle\int_2^3 B_m(t)dt+\displaystyle\int_3^4 B_m(t)dt+ \cdots \\
&     +\displaystyle\int_{n-1}^n B_m(t)dt+\displaystyle\int_n^{n+1} B_m(t)dt=1^m+2^m+3^m+ \cdots +n^m\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_1^{n+1} B_m(t)dt=\displaystyle\sum_{k=1}^n k^m$$左辺の積分は \((2)\) の式を用います。以上より$$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^m=\frac{B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)}{m+1}$$

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