微分方程式[ベルヌーイDE](13)

次のような方程式をベルヌーイの微分方程式と呼びます。$$y’+P(x)y=Q(x)y^n$$このDEは両辺に \((1-n)y^{-n}\) を掛けて \(u=y^{1-n}\) と置くことで1階線形微分方程式に帰着します。


<証明>

上記の両辺に \((1-n)y^{-n}\) を掛けます。$$(1-n)y^{-n}y’+(1-n)P(x)y^{1-n}=(1-n)Q(x)$$この左辺は \((y^{1-n})’=(1-n)y^{-n}\) であることから$$u’+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$$となって1階線形微分方程式に帰着します。





それでは以下の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  xy’+(1-x)y=x^2y^2\\
&(2)  xy’+y=y^2 \log x\\
&(3)  y’+y \tan x =y^2\\
&(4)  x^2(1+x^2)y’-x^3y=y^3\\
&(5)  4xy’+3y+e^xx^4y^5\\
&(6)  xy’+y=x\sqrt{y}\\
&(7)  xy’+2y=2x^3y^{\frac{4}{3}}
\end{alignat}
(※ただし「微分方程式の解法の習得」が目的であるので、両辺を何かしらの式で割り、分母に変数が置かれても定義出来ない場合を除外して(場合分けをせずに)式を進めても良いものとします。また \( \log\) の真数は正として計算してください。)







<解答>
$$(1)  xy’+(1-x)y=x^2y^2$$両辺を \(x\) で割ります。$$y’+\left(\frac{1}{x}-1\right)y=x^2y^2$$両辺に \(-y^{-2}\) を掛けます。$$-y^{-2}y’+\left(1-\frac{1}{x}\right)y^{-1}=-x,  (y^{-1})’+\left(1-\frac{1}{x}\right)y^{-1}=-x$$\(\displaystyle P(x)=1-\frac{1}{x}, Q(x)=-x\) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-1}=e^{\int \left(\frac{1}{x}-1\right)dx}\left\{ \displaystyle\int (-x)e^{\int \left(1-\frac{1}{x}\right)dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{ \log x-x}\left\{ \displaystyle\int (-x)e^{x- \log x}dx+C\right\}\\
&   =xe^{-x}\left\{ \displaystyle\int (-x)e^x \cdot \frac{1}{x}dx+C\right\}\\
&   =xe^{-x}\left( -\displaystyle\int e^x dx+C\right)\\
&   =xe^{-x}(C-e^x)=x(Ce^{-x}-1)
\end{alignat}よって$$y=\frac{1}{x(Ce^{-x}-1)}$$







$$(2)  xy’+y=y^2 \log x$$両辺を \(x\) で割ります。$$y’+\frac{1}{x}y=\frac{\log x}{x}y^2$$両辺に \(-y^{-2}\) を掛けます。$$-y^{-2}y’-\frac{1}{x}y^{-1}=-\frac{\log x}{x},  (y^{-1})’-\frac{1}{x}y^{-1}=-\frac{\log x}{x}$$\(\displaystyle P(x)=-\frac{1}{x}, Q(x)=-\frac{\log x}{x}\) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-1}=e^{\int \frac{1}{x}dx}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{ \log x}{x}\right)e^{-\int\frac{1}{x}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{\log x}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{ \log x}{x}\right)e^{-\log x}dx+C\right\}\\
&   =x\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{ \log x}{x}\right)\frac{1}{x}dx+C\right\}\\
&   =x\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{ \log x}{x^2}\right)dx+C\right\}\\
\end{alignat}括弧内の積分について$$\displaystyle\int \frac{\log x}{x^2}dx=-\frac{\log x}{x}+\displaystyle\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}dx=-\frac{\log x}{x}+\displaystyle\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}$$となるので$$y^{-1}=x\left(\frac{\log x}{x}+\frac{1}{x}+C\right)=Cx+\log x+1$$以上より$$y=\frac{1}{Cx+\log x+1}$$






$$(3)  y’+y \tan x =y^2$$両辺に \(-y^{-2}\) を掛けます。$$-y^{-2}y’- \tan x \cdot y^{-1}=-1,  (y^{-1})’- \tan x \cdot y^{-1}=-1$$\(\displaystyle P(x)=- \tan x, Q(x)=-1 \) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-1}=e^{\int \tan xdx}\left\{\displaystyle\int (-1)e^{-\int \tan xdx}dx+C\right\}\\
&   =e^{- \log \cos x}\left\{\displaystyle\int (-1)e^{\log \cos x}+C\right\}\\
&   =\frac{1}{\cos x}\left(-\displaystyle\int \cos xdx+C\right)\\
&   =\frac{1}{\cos x}(C- \sin x)
\end{alignat}よって$$y=\frac{\cos x}{C- \sin x}$$







$$(4)  x^2(1+x^2)y’-x^3y=y^3$$両辺を \(x^2(1+x^2)\) で割ります。$$y’-\frac{x}{1+x^2}y=\frac{y^3}{x^2(1+x^2)}$$両辺に \(-2y^{-3}\) を掛けます。$$-2y^{-3}y’+\frac{2x}{1+x^2}y^{-2}=-\frac{2}{x^2(1+x^2)},  (y^{-2})’+\frac{2x}{1+x^2}y^{-2}=-\frac{2}{x^2(1+x^2)}$$\(\displaystyle P(x)=\frac{2x}{1+x^2}, Q(x)=-\frac{2}{1+x^2} \) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-2}=e^{-\int \frac{2x}{1+x^2}dx}\left\{\displaystyle\int \frac{-2}{x^2(1+x^2)}\cdot e^{\int \frac{2x}{1+x^2}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{- \log (1+x^2)}\left\{\displaystyle\int \frac{-2}{x^2(1+x^2)}\cdot e^{\log (1+x^2)}dx+C\right\}\\
&   =\frac{1}{x^2+1}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{2}{x^2}\right)dx+C\right\}
\end{alignat}よって$$y^{-2}=\frac{1}{x^2+1}\left(\frac{2}{x}+C\right)$$







$$(5)  4xy’+3y+e^xx^4y^5$$両辺を \(4x\) で割ります。$$y’+\frac{3}{4x}y=-\frac{e^xx^3y^5}{4}$$両辺に \(-4y^{-5}\) を掛けます。$$-4y^{-5}y’-\frac{3}{x}y^{-4}=x^3e^x,  (y^{-4})’-\frac{3}{x}y^{-4}=x^3e^x$$\(\displaystyle P(x)=-\frac{3}{x}, Q(x)=x^3e^x \) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-4}=e^{\int \frac{3}{x}dx}\left\{\displaystyle\int x^3e^x \cdot e^{-\int \frac{3}{x}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{3 \log x}\left\{\displaystyle\int x^3e^x \cdot e^{-3 \log x}dx+C\right\}\\
&   =x^3\left(\displaystyle\int e^xdx+C\right)
\end{alignat}よって$$y^{-4}=x^3(e^x+C)$$







$$(6)  xy’+y=x\sqrt{y}$$両辺を \(x\) で割ります。$$y’+\frac{1}{x}y=y^{\frac{1}{2}}$$両辺に \(\displaystyle \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\) を掛けます。$$\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}y’+\frac{1}{2x}y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2},  (y^{\frac{1}{2}})’+\frac{1}{2x}y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$$\(\displaystyle P(x)=\frac{1}{2x}, Q(x)=\frac{1}{2} \) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{\frac{1}{2}}=e^{-\int \frac{1}{2x}dx}\left(\displaystyle\int \frac{1}{2} e^{\int \frac{1}{2x}dx}dx+C\right)\\
&   =e^{-\frac{1}{2} \log x}\left(\displaystyle\int \frac{1}{2} e^{\frac{1}{2} \log x}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\displaystyle\int \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}+C\right)
\end{alignat}よって$$y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\right)$$







$$(7)  xy’+2y=2x^3y^{\frac{4}{3}}$$両辺を \(x\) で割ります。$$y’+\frac{2}{x}y=2x^2y^{\frac{4}{3}}$$両辺に \(\displaystyle -\frac{1}{3}y^{-\frac{4}{3}}\) を掛けます。$$-\frac{1}{3}y^{-\frac{4}{3}}y’-\frac{2}{3x}y^{-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}x^2,  (y^{-\frac{1}{3}})’-\frac{2}{3x}y^{-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}x^2$$\(\displaystyle P(x)=-\frac{2}{3x}, Q(x)=-\frac{2}{3}x^2 \) であるから
\begin{alignat}{2}
&y^{-\frac{1}{3}}=e^{\int \frac{2}{3x}dx}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{2}{3}x^2\right)e^{-\int \frac{2}{3x}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{\frac{2}{3} \log x}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{2}{3}x^2\right)e^{-\frac{2}{3}\log x}dx+C\right\}\\
&   =x^{\frac{2}{3}}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{2}{3}x^2\right)x^{-\frac{2}{3}}dx+C\right\}\\
&   =x^{\frac{2}{3}}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{2}{3}x^{\frac{4}{3}}\right)dx+C\right\}\\
&   =x^{\frac{2}{3}}\left(-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+C\right)
\end{alignat}よって$$y^{-\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}\left(-\frac{2}{7}x^{\frac{7}{3}}+C\right)$$

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