微分方程式[変数分離](1)

微分方程式とは「導関数を含む方程式」のことです。
そして「微分方程式を解く」とは「その(微分)方程式を成立させる関数を求める」ことを意味します。

このページでは「変数分離法」を紹介します。

変数分離法とは
「与えられた方程式内の変数を分けて、式全体を積分して解を求める方法」です。すなわち変数を \(x,y\) として、次のような微分方程式が与えられたとき$$P(x)dx+Q(y)dy=0$$この式全体を積分することで$$\displaystyle\int P(x)dx+\displaystyle\int Q(x)dx=C$$のように解く事が出来ます。(左辺と右辺にそれぞれ変数を分けて解く捉え方もあります。)

以下の問題を解いてみましょう。
(※ただし「微分方程式の解法の習得」が目的であるので、両辺を何かしらの式で割り、分母に変数が置かれても定義出来ない場合を除外して(場合分けをせずに)式を進めても良いものとします。)



\begin{alignat}{2}
&(1)  x(1+y^2)^{\frac{1}{2}}dx+y(1+x^2)^{\frac{1}{2}}dy=0\\
&(2)  \sec^2 x \tan ydx+ \sec^2 y \tan x=0\\
&(3)  xy(1+x^2)dy-(1-y^2)dx=0\\
&(4)  a(xy’+2y)=xy\\
&(5)  \frac{dy}{dx}=2 \sin x \sin y
\end{alignat}






<解答>
$$(1)  x(1+y^2)^{\frac{1}{2}}dx+y(1+x^2)^{\frac{1}{2}}dy=0$$
両辺を \(\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}\) で割ります。$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy=0$$両辺を積分します。$$\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx+\displaystyle\int \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}dy=C$$\(\displaystyle \{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) だから$$\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}=C$$






$$(2)  \sec^2 x \tan ydx+ \sec^2 y \tan x=0$$
両辺を \( \tan x \tan y\) で割ります。$$\frac{ \sec^2 x}{ \tan x}dx+\frac{\sec^2 y}{\tan y}dy=0$$両辺を積分します。$$\displaystyle\int \frac{ \sec^2 x}{ \tan x}dx+\displaystyle\int \frac{\sec^2 y}{\tan y}dy=C$$次の積分を計算します。
\( \tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{ \cos^2 x}dx=dt\right)\)$$\displaystyle\int \frac{ \sec^2 x}{ \tan x}dx=\displaystyle\int \frac{1}{t}dt= \log |t|= \log | \tan x|$$となるので
\begin{alignat}{2}
& \log | \tan x|+ \log | \tan y|=C\\
&\log| \tan x \tan y|=C, \tan x \tan y=e^C
\end{alignat}よって$$ \tan x \tan y=C$$






$$(3)  xy(1+x^2)dy-(1-y^2)dx=0$$
両辺を \(-x(1+x^2)(1-y^2)\) で割ります。$$\frac{y}{y^2-1}dy+\frac{1}{x(x^2+1)}dx=0$$\(x\) について部分分数分解を行います。$$\frac{y}{y^2-1}dy+\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx=0$$両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{y}{y^2-1}dy+\displaystyle\int \left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx=C\\
&\frac{1}{2} \log| y^2-1|+ \log |x|-\frac{1}{2} \log |x^2+1|=C\\
&\log| y^2-1|+ \log |x|^2- \log |x^2+1|=C\\
&\log \left|\frac{x^2(y^2-1)}{x^2+1}\right|=C,  e^C=\left|\frac{x^2(y^2-1)}{x^2+1}\right|,  C=\frac{x^2(y^2-1)}{x^2+1}
\end{alignat}よって$$C(x^2+1)=x^2(y^2-1)$$






$$(4)  a(xy’+2y)=xy$$
$$axy’+2ay=xy, axdy+(2ay-xy)dx=0$$両辺を \(axy\) で割ります。$$\frac{1}{y}dy+\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{a}\right)dx=0$$両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{y}dy+\displaystyle\int \left(\frac{2}{x}-\frac{1}{a}\right)dx=C\\
&\log |y|+2 \log |x|-\frac{x}{a}=0,  \log |x^2y|=C+\frac{x}{a}\\
&|x^2y|=e^{C+\frac{x}{a}},  |x^2y|=Ce^{\frac{x}{a}}
\end{alignat}よって$$x^2y=Ce^{\frac{x}{a}}$$







$$(5)  \frac{dy}{dx}=2 \sin x \sin y$$両辺に \(dx\) をかけて \( \sin y\) で割ります。$$\frac{1}{ \sin y}dy=2 \sin xdx$$両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{ \sin y}dy=2 \displaystyle\int \sin xdx\\
&\log \left|\tan \frac{y}{2}\right|=-2 \cos x+C,  e^{-2 \cos x+C}= \left|\tan \frac{y}{2}\right|\\
&Ce^{-2 \cos x}= \tan \frac{y}{2},  \frac{y}{2}=\tan^{-1} (Ce^{-2 \cos x})
\end{alignat}よって$$y=2 \tan^{-1}(Ce^{-2 \cos x})$$

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