微分方程式[変数分離(ax+by+c=0,px+qy+r=0の解を用いる)](8)

微分方程式の同次形について次のような形の問題があります。$$\frac{dy}{dx}=φ\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)$$
この微分方程式は \(ax+by+c=0, px+qy+r=0\) の解を \(x=α, y=β\) としたとき \(x=X+α, y=Y+β\) を元の微分方程式に代入することで解くことができます。   




<証明>
上記の通りに文字を置くとします。このとき二つの方程式の解が \(x=α, y=β\) であることから$$aα+bβ+c=0, pα+qβ+r=0$$が成り立つので微分方程式内の分子と分母はそれぞれ
\begin{alignat}{2}
&a(X+α)+b(Y+β)+c=aX+aα+bY+bβ+c\\
&                     =aX+bY+(aα+bβ+c)\\
&                     =aX+bY\\
&p(X+α)+q(Y+β)+r=pX+pα+qY+qβ+r\\
&                     =pX+qY+(pα+qβ+r)\\
&                     =pX+qY\\
\end{alignat}また \(y’\) については$$dx=dX,  dy=dY,  \frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX}$$となるので、元の微分方程式は$$\frac{dY}{dX}=φ\left(\frac{aX+bY}{pX+qY}\right)$$となるので、さらに \(Y=uX\) と置くと$$u’X+u=φ\left(\frac{a+bu}{p+qu}\right)$$変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&X\frac{du}{dX}=φ\left(\frac{a+bu}{p+qu}\right)-u\\
&\frac{1}{X}dX=\frac{1}{φ\left(\frac{a+bu}{p+qu}\right)-u}du
\end{alignat}これで両辺を積分することが出来て$$ \log|x|=\displaystyle\int \frac{1}{φ\left(\frac{a+bu}{p+qu}\right)-u}du+C$$となります。



それでは、以下の問題を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1) (2x-y+1)dx-(x-2y+1)dy=0\\
&(2) (7x-3y+2)dx-(3x-4y+5)dy=0\\
&(3) (3x+y-5)dx-(x-3y-5)dy=0
\end{alignat}

(※ただし「微分方程式の解法の習得」が目的であるので、両辺を何かしらの式で割り、分母に変数が置かれても定義出来ない場合を除外して(場合分けをせずに)式を進めても良いものとします。)






<解答>
$$(1) (2x-y+1)dx-(x-2y+1)dy=0$$
次の連立方程式を解きます。
\begin{cases}
2x-y+1=0\\
x-2y+1=0
\end{cases}この解は\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}, y=\frac{1}{3}\) なので \(\displaystyle x=X-\frac{1}{3}, y=Y+\frac{1}{3}\) と置いて、元の微分方程式に代入すると$$(2X-Y)dX-(X-2Y)dY=0$$となります。さらに \(Y=uX\) と置いて代入します。
\begin{alignat}{2}
&(2X-uX)-(X-2uX)(u’X+u)=0\\
&(2-u)-(1-2u)(u’X+u)=0\\
&2u^2-2u+2+(2uX-X)u’=0\\
&2(u^2-u+1)+(2u-1)Xu’=0\\
&\frac{1}{X}dX+\frac{2u-1}{2(u^2-u+1)}du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{X}dX+\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{2u-1}{u^2-u+1)}du=C\\
&\log |X|+\frac{1}{2} \log |u^2-u+1|=C\\
&\log |X|^2+\log \left|\frac{Y^2}{X^2}-\frac{Y}{X}+1\right|=C\\
&\log |Y^2-XY+X^2|=C\\
&Y^2-XY+X^2=e^C,  Y^2-XY+X^2=C
\end{alignat}\(X,Y\) を元に戻します。
\begin{alignat}{2}
&\left(y-\frac{1}{3}\right)^2-\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\left(x+\frac{1}{3}\right)=C\\
&(3y-1)^2-(3x+1)(3y-1)+(3x+1)^2=C\\
&9y^2-6y+1-(9xy+3y-3x-1)+9x^2+6x+1=C\\
&9x^2+9y^2-9xy-9y+9x=C
\end{alignat}よって$$x^2+y^2-xy+x-y=C$$






$$(2) (7x-3y+2)dx-(3x-4y+5)dy=0$$
次の連立方程式を解きます。
\begin{cases}
7x-3y+2=0\\
3x-4y+5=0
\end{cases}この解は\(\displaystyle x=\frac{7}{19}, y=\frac{29}{19}\) なので \(\displaystyle x=X+\frac{7}{19}, y=Y+\frac{29}{19}\) と置いて、元の微分方程式に代入すると$$(7X-3Y)dX-(3X-4Y)dY=0$$となります。さらに \(Y=uX\) と置いて代入します。
\begin{alignat}{2}
&(7X-3uX)-(3X-4uX)(u’X+u)=0\\
&(7-3u)-(3-4u)(u’X+u)=0\\
&4u^2-6u+7+(4uX-3X)u’=0\\
&4u^2-6u+7+(4u-3)Xu’=0\\
&\frac{1}{X}dX+\frac{4u-3}{4u^2-6u+7}du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{X}dX+\frac{1}{2}\displaystyle\int \frac{8u-6}{u^2-u+1}du=C\\
&\log |X|+\frac{1}{2} \log |4u^2-6u+7|=C\\
&\log |X|^2+\log \left|\frac{4Y^2}{X^2}-\frac{6Y}{X}+7\right|=C\\
&\log |4Y^2-6XY+7X^2|=C\\
&4Y^2-6XY+7X^2=e^C,  4Y^2-6XY+7X^2=C
\end{alignat}\(X,Y\) を元に戻します。
\begin{alignat}{2}
&4\left(y-\frac{29}{19}\right)^2-6\left(x-\frac{7}{19}\right)\left(y-\frac{29}{19}\right)+\left(x-\frac{7}{19}\right)=C\\
&4(19y-29)^2-6(19x-7)(19y-29)+7(19x-29)^2=C\\
&4(361y^2-1102y+841)-6(361xy-133y-551x+203)+7(361x^2-266x+49)=C\\
&1444y^2-4408y-2166xy+798y+3306x+2527x^2-1862x=C\\
&2527x^2+1444y^2-2166xy+1444x-3610y=C
\end{alignat}両辺を \(361\) で割ります。$$7x^2+4y^2-6xy+4x-10y=C$$






$$(1) (3x+y-5)dx-(x-3y-5)dy=0$$
次の連立方程式を解きます。
\begin{cases}
3x+y-5=0\\
x-3y-5=0
\end{cases}この解は\(\displaystyle x=2, y=-1\) なので \(\displaystyle x=X+2, y=Y-1\) と置いて、元の微分方程式に代入すると$$(3X+Y)dX-(X-3Y)dY=0$$となります。さらに \(Y=uX\) と置いて代入します。
\begin{alignat}{2}
&(3X+uX)-(X-3uX)(u’X+u)=0\\
&(3+u)-(1-3u)(u’X+u)=0\\
&3(u^2+1)+(3u-1)Xu’=0\\
&\frac{1}{X}dX+\frac{3u-1}{3(u^2+1)}du=0\\
&\frac{1}{X}dX+\left(\frac{u}{u^2+1}-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^2+1}\right)du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{X}dX+\displaystyle\int \left(\frac{u}{u^2+1}-\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^2+1}\right)du=C\\
&\log |X|+\frac{1}{2} \log |u^2+1|-\frac{1}{3} \tan^{-1} u=C\\
&3\left(\log X^2+ \log \left|\frac{Y^2}{X^2}+1\right|\right)-2 \tan^{-1} \frac{Y}{X}=C\\
&3 \log |Y^2+X^2|-2 \tan^{-1} \frac{Y}{X}=C\\
\end{alignat}\(X,Y\) を元に戻します。
\begin{alignat}{2}
&3 \log |(y+1)^2+(x-2)^2|-2 \tan^{-1} \frac{y+1}{x-2}=C\\
\end{alignat}よって$$3\log |x^2+y^2-4x+2y+5|-2 \tan^{-1} \frac{y+1}{x-2}=C$$

“微分方程式[変数分離(ax+by+c=0,px+qy+r=0の解を用いる)](8)” への6件の返信

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