微分方程式[変数分離(極座標で解く)](9)

微分方程式内に \(x^2+y^2\) を見たときに、
極座標を用いて解ける問題があります。すなわち$$x=r \cos θ, y=r \sin θ$$と置けば \(\displaystyle x^2+y^2=r^2, \frac{y}{x}= \tan θ \left(θ= \tan^{-1} \frac{y}{x}\right)\) 及び
\begin{cases}
xdx+ydy=rdr\\
xdy-ydx=r^2dθ
\end{cases}が成り立ちます。




<導出>
\(\displaystyle x^2+y^2=r^2, \frac{y}{x}= \tan θ \) をそれぞれ両辺を \(x\) で微分します。$$(A)   x^2+y^2=r^2,  2x+2y\frac{dy}{dx}=2r\frac{dr}{dx}$$両辺を2で割り \(dx\) を掛けます。$$xdx+ydy=rdr$$

$$(B)   \frac{y}{x}= \tan θ,  \frac{xy’-y}{x^2}=\frac{1}{\cos^2 θ}\cdot \frac{dθ}{dx}$$\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2 θ}=\frac{r^2}{x^2}\) を代入して、両辺に \(x^2\) 及び \(dx\) を掛けます。$$\frac{xy’-y}{x^2}=\frac{r^2}{x^2}\cdot \frac{dθ}{dx},  x\frac{dy}{dx}-y=r^2\frac{dθ}{dx},  xdy-ydx=r^2dθ$$







それでは極座標変換を用いて、次の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \{(x^2+y^2-a)x-y\}y’=(x^2+y^2-a)y+x\\
&(2)  (x^2+y^2-a)(x+yy’)=2xy(y-xy’)
\end{alignat}

(※ただし「微分方程式の解法の習得」が目的であるので、両辺を何かしらの式で割り、分母に変数が置かれても定義出来ない場合を除外して(場合分けをせずに)式を進めても良いものとします。)






<解答>
$$(1)  \{(x^2+y^2-a)x-y\}y’=(x^2+y^2-a)y+x$$
\(x^2+y^2=r^2\) を代入しておきます。
\begin{alignat}{2}
&(r^2-a)xy’-yy’=(r^2-a)y+x\\
&(r^2-a)(xy’-y)=yy’+x,  (r^2-a)\left(x\frac{dy}{dx}-y\right)=y\frac{dy}{dx}+x
\end{alignat}両辺に \(dx\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&(r^2-a)(xdy-ydx)=ydy+xdx,  (r^2-a)r^2dθ=rdr\\
&dθ=\frac{1}{r(r^2-a)}dr,  dθ=\frac{1}{a}\left(\frac{r}{r^2-a}-\frac{1}{r}\right)dr
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int dθ=\displaystyle\int \frac{1}{a}\left(\frac{r}{r^2-a}-\frac{1}{r}\right)dr\\
&θ+C=\frac{1}{2a} \log |r^2-a| -\frac{1}{a} \log |r|\\
&2aθ+C=\log |r^2-a|-\log r^2,   2aθ+C=\log \left|\frac{r^2-a}{r^2}\right|\\
&e^{2aθ+C}=\left|\frac{r^2-a}{r^2}\right|,  \frac{r^2-a}{r^2}=Ce^{2aθ},  r^2-a=Cr^2e^{2aθ}
\end{alignat}よって$$x^2+y^2-a=C(x^2+y^2)e^{2a \tan^{-1}\frac{y}{x}}$$







$$(2)  (x^2+y^2-a)(x+yy’)=2xy(y-xy’)$$
両辺に \(dx\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&(x^2+y^2-a)\left(x+y\frac{dy}{dx}\right)=2xy\left(y-x\frac{dy}{dx}\right)\\
&(x^2+y^2-a)(xdx+ydy)=2xy(ydx-xdy)\\
\end{alignat}方程式の変数を \(r,θ\) に切り替えて、変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&(r^2-a)rdr=-2r^2 \cos θ \sin θr^2dθ\\
&\left(\frac{1}{r}-\frac{a}{r^3}\right)dr=- \sin 2θdθ
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \left(\frac{1}{r}-\frac{a}{r^3}\right)dr=-\displaystyle\int \sin 2θdθ+C\\
& \log |r|+\frac{a}{2r^2}=\frac{1}{2} \cos 2θ+C\\
&2r^2 \log |r|+a=r^2( \cos^2 θ- \sin^2 θ)+Cr^2\\
&r^2 \log r^2+a=(r^2 \cos^2 θ- r^2 \sin^2 θ)+Cr^2
\end{alignat}変数を \(x,y\) に戻します。$$(x^2+y^2) \log (x^2+y^2)+a=x^2-y^2+C(x^2+y^2)$$

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