微分方程式[変数分離(y=ux)(Exercise)](5)

このページは \(y=ux (y’=u’x+u)\) と置くことで解ける、
同次形の微分方程式の問題演習です。


以下の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  (x+y)+(y-x)y’=0\\
&(2)  (x^2+xy)y’=y^2\\
&(3)  xy’=y+\sqrt{x^2-y^2}\\
&(4)  (y-\sqrt{x^2+y^2})dx-xdy=0\\
&(5)  xy’=y-x \cos^2 \frac{y}{x}\\
&(6)  xy’=\sqrt{x^2+y^2}\\
&(7)  \{(x^2-y^2) \sin α+2xy \cos α-y\sqrt{x^2+y^2}\}dy\\
&      =\{2xy \sin α-(x^2-y^2) \cos α+x\sqrt{x^2+y^2}\}dx
\end{alignat}

(※ただし「微分方程式の解法の習得」が目的であるので、両辺を何かしらの式で割り、分母に変数が置かれても定義出来ない場合を除外して(場合分けをせずに)式を進めても良いものとします。)







<解答>
下記の解説における「代入して」の意味は
\(y=ux (y’=u’x+u)\) を与えられた微分方程式に代入することを意味します。



$$(1)  (x+y)+(y-x)y’=0$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&x+ux+(ux-x)(u’x+u)=0,  1+u+(u-1)(u’x+u)=0\\
&1+u^2+(u-1)xu’=0, \frac{1}{x}dx+\frac{u-1}{u^2+1}du=0\\
&\frac{1}{x}dx+\left(\frac{u}{u^2+1}-\frac{1}{u^2+1}\right)du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x}dx+\displaystyle\int \left(\frac{u}{u^2+1}-\frac{1}{u^2+1}\right)du=C\\
& \log |x|+\frac{1}{2} \log|u^2+1|- \tan^{-1} u=C\\
&\log x^2+\log \left|\frac{y^2}{x^2}+1\right|-2 \tan^{-1} \frac{y}{x}=C\\
&\log |x^2+y^2|=2 \tan^{-1} \frac{y}{x}+C,  |x^2+y^2|=e^{2 \tan^{-1} \frac{y}{x}+C}
\end{alignat}よって$$x^2+y^2=Ce^{2 \tan^{-1} \frac{y}{x}}$$






$$(2)  (x^2+xy)y’=y^2$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&(x^2+x^2u)(u’x+u)=u^2x^2,  (1+u)(u’x+u)=u^2\\
&u+(u+1)xu’=0,  \frac{1}{x}dx+\left(1+\frac{1}{u}\right)du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x}dx+\displaystyle\int \left(1+\frac{1}{u}\right)du=C\\
& \log |x|+u+ \log |u|=C,  \log |xu|=-u+C\\
&|xu|=e^{-u+C},  xu=Ce^{-u}
\end{alignat}以上より$$y=Ce^{-\frac{y}{x}}$$






$$(3)  xy’=y+\sqrt{x^2-y^2}$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&x(u’x+u)=ux+\sqrt{x^2-u^2x^2},  u’x=\sqrt{1-u^2}\\
&\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\frac{1}{x}dx
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\displaystyle\int \frac{1}{x}dx,  \sin^{-1} u=\log |x|+C\\
&u=\sin^{-1}( \log |x|+C),  \frac{y}{x}=\sin^{-1}( \log |x|+C)
\end{alignat}以上より$$y=x\sin^{-1}( \log |x|+C)$$






$$(4)  (y-\sqrt{x^2+y^2})dx-xdy=0$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&(ux-\sqrt{x^2+u^2x^2})-x(u’x+u)=0\\
&(u-\sqrt{1+u^2})-(u’x+u)=0,  u’x+\sqrt{1+u^2}=0\\
&\frac{1}{x}dx+\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}du=0
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x}dx+\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{u^2+1}}du=C\\
&\log |x|+ \log |u+\sqrt{u^2+1}|=C\\
&\log\left|x\left(\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}\right)\right|=C\\
&\log |y+\sqrt{x^2+y^2}|=C,  y+\sqrt{x^2+y^2}=e^C\\
&y+\sqrt{x^2+y^2}=C \cdots (A)
\end{alignat}この \((A)\) の両辺に \(y-\sqrt{x^2+y^2}\) を掛けると$$y^2-(x^2+y^2)=C(y^2-\sqrt{x^2+y^2}),  y-\sqrt{x^2+y^2}=-\frac{x^2}{C} \cdots (B)$$となるので \((A)+(B)\) を計算すると$$2y=C-\frac{x^2}{C}$$よって$$y=\frac{1}{2}\left(C-\frac{x^2}{C}\right)$$







$$(5)  xy’=y-x \cos^2 \frac{y}{x}$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&x(u’x+u)=ux-x \cos^2 u,  xu’=- \cos^2 u\\
&\frac{1}{ \cos^2 u}du=-\frac{1}{x}dx
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{ \cos^2 u}du=-\displaystyle\int \frac{1}{x}dx,  \tan u=-\log |x|+C\\
& \log |x|=C- \tan u,  |x|=e^{C- \tan u},  x=Ce^{- \tan\frac{y}{x}}
\end{alignat}以上より$$xe^{\tan \frac{y}{x}}=C$$






$$(6)  xy’=\sqrt{x^2+y^2}$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&x(u’x+u)=\sqrt{x^2+u^2x^2},  u’x+u=\sqrt{1+u^2}\\
&\sqrt{1+u^2}-u=xu’,  \frac{1}{x}dx=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}-u}du\\
&\frac{1}{x}dx=(u+\sqrt{u^2+1})du
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x}dx=\displaystyle\int (u+\sqrt{u^2+1})du\\
&\log |x|=\frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}\{u\sqrt{u^2+1}+\log |u+\sqrt{u^2+1}|\}+C\\
&\log x^2=u^2+u\sqrt{u^2+1}+ \log |u+\sqrt{u^2+1}|+C\\
&\log \frac{x^2}{u+\sqrt{u^2+1}}=u^2+u\sqrt{u^2+1}+C\\
&\log \frac{x^2}{\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}}=\frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}+C\\
&x^2 \log \frac{x^3}{y+\sqrt{y^2+x^2}}=y^2+y\sqrt{y^2+x^2}+Cx^2\\
\end{alignat}よって$$y(y+\sqrt{x^2+y^2})=x^2\left( \log \frac{x^3}{y+\sqrt{x^2+y^2}}+C\right)$$






$$(7)  \{(x^2-y^2) \sin α+2xy \cos α-y\sqrt{x^2+y^2}\}dy=\{2xy \sin α-(x^2-y^2) \cos α+x\sqrt{x^2+y^2}\}dx$$
代入して変数を分離します。
\begin{alignat}{2}
&\{(x^2-u^2x^2) \sin α+2x^2u \cos α -ux\sqrt{x^2+u^2x^2}\}(u’x+u)=2x^2u \sin α -(x^2-x^2u^2) \cos α+x\sqrt{x^2+x^2u^2}\\
&\{(1-u^2) \sin α+2u \cos α -u\sqrt{1+u^2}\}(u’x+u)=2u \sin α -(1-u^2) \cos α+\sqrt{1+u^2}\\
&\{(1-u^2) \sin α+2u \cos α -u\sqrt{1+u^2}\}xu’=u \sin α+u^3 \sin α -\cos α -u^2 \cos α +u^2\sqrt{1+u^2}+\sqrt{1+u^2}\\
&                                   =u(u^2+1) \sin α-(u^2+1) \cos α +(u^2+1)\sqrt{1+u^2}\\
&                                   =(u^2+1)( u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2})\\
\end{alignat} 左辺も右辺に合わせて変形します。
\begin{alignat}{2}
&(1-u^2) \sin α+2u \cos α -u\sqrt{1+u^2}\\
&= \sin α-u^2 \sin α+2u \cos α-u\sqrt{1+u^2}\\
&=-2u(u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2})+u^2 \sin α+u\sqrt{1+u^2}+ \sin α\\
&=-2u(u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2})+(u^2+1) \sin α+u\sqrt{1+u^2}\\
\end{alignat}よって変数分離後の式は
\begin{alignat}{2}
&\frac{-2u(u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2})+(u^2+1) \sin α+u\sqrt{1+u^2}}{(u^2+1)( u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2})}du=\frac{1}{x}dx\\
&\left(\frac{\sin α+u(1+u^2)^{-\frac{1}{2}}}{u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2}}-\frac{2u}{1+u^2}\right)du=\frac{1}{x}dx
\end{alignat}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \left(\frac{\sin α+u(1+u^2)^{-\frac{1}{2}}}{u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2}}-\frac{2u}{1+u^2}\right)du=\displaystyle\int \frac{1}{x}dx\\
&\log |u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2}|- \log |1+u^2|=log|x|+C\\
&\log |u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2}|= \log |Cx(1+u^2)|\\
&u \sin α- \cos α +\sqrt{1+u^2}=Cx(1+u^2)\\
&\frac{y}{x} \sin α- \cos α +\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=Cx\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)
\end{alignat}よって$$y \sin α-x \cos α+\sqrt{x^2+y^2}=C(x^2+y^2)$$

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