微分方程式[完全微分DE(積分因子(2))](21)

前回に引き続き、微分方程式に「積分因子」を掛けて解きます。このページでは積分因子が \(y\) のみの関数であるときを考えます。

積分因子が \(y\) のみの関数であるとき
その積分因子を \(μ\) とすると$$μ=e^{-\int h(y)dx},  \left(h(y)=\frac{P_y-Q_x}{P}\right)$$となります。

<証明>
次の微分方程式が与えられたとします。$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$この微分方程式の「両辺に \(μ\) を掛けることで完全微分方程式になった」とすると$$μPdx+μQdy=0$$であり、このとき \((μP)_y=(μQ)_x\) が成立しています。よって$$μ_yP+μP_y=μ_xQ+μQ_x$$今、積分因子は \(x\) のみの関数を考えているので \(μ=μ(y)\) であるから \(μ_x=0\) です。すなわち
\begin{alignat}{2}
&μ_yP=-μP_y+μQ_x=-μ(P_y-Q_x)\\
&\frac{dμ}{dy}=-μ \cdot \frac{P_y-Q_x}{P}
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{Q}=h(y)\) と置くと
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{μ}dμ=-h(y)dy,  \displaystyle\int\frac{1}{μ}dμ=-\displaystyle\int h(y)dx\\
&\log |μ|=-\displaystyle\int h(y)dx,  μ=e^{-\int h(y)dx}
\end{alignat}




それでは次の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  y(x+y)dx+(xy-1)dy=0\\
&(2)  (4y^2-2x^3)dy-3x^2ydx=0\\
&(3)  2xydx+(y^2-x^2)dy=0\\
&(4)  y(3x^2-ay)dx+x(2ay-3x^2)dy=0\\
&(5)  (2x+y)(y^2+1)dx+(2y^2+xy+1)x=0\\
\end{alignat}





<解答>

※積分因子を掛けた後 \(P_y=Q_x\) となることの確認は省略しています。


$$(1)  y(x+y)dx+(xy-1)dy=0$$積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=xy+y^2,  Q=xy-1\\
&P_y=x-2y,  Q_x=y\\
&\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{x+y}{y(x+y)}=\frac{1}{y}\\
&μ=e^{-\int \frac{1}{y}dy}=e^{-\log y}=\frac{1}{y}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{y}\) を掛けます。$$(x+y)dx+\left(x-\frac{1}{y}\right)dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x (x+y)dx-\displaystyle\int_1^y \frac{1}{y}dy=C\\
&\left[\frac{1}{2}x^2+xy\right]_0^x-[\log y]_1^y=C,  \frac{1}{2}x^2-xy- \log y=C\\
\end{alignat}よって$$x^3+2xy-2 \log y=C$$







$$(2)  (4y^2-2x^3)dy-3x^2ydx=0$$$$3x^2ydx+(2x^3-4y^2)dy=0$$積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=3x^2y,  Q=2x^3-4y^2\\
&P_y=3x^2,  Q_x=6x^2\\
&\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{-3x^2}{3x^2y}=-\frac{1}{y}\\
&μ=e^{\int \frac{1}{y}dy}=e^{\log y}=y
\end{alignat} 両辺に \(y\) を掛けます。$$3x^2y^2dx+(2x^3y-4y^3)dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x 3x^2y^2dx-\displaystyle\int_0^y 4y^3dy=C\\
&\left[x^3y^2\right]_0^x-[y^4]_1^y=C, 
\end{alignat}よって$$x^3y^2-y^4=C$$







$$(3)  2xydx+(y^2-x^2)dy=0$$積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=2xy,  Q=y^2-x^2\\
&P_y=2x,  Q_x=-2x\\
&\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{4x}{2xy}=\frac{2}{y}\\
&μ=e^{-\int \frac{2}{y}dy}=e^{-2 \log y}=\frac{1}{y^2}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{y^2}\) を掛けます。$$\frac{2x}{y}dx+\left(1-\frac{x^2}{y^2}\right)dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x \frac{2x}{y}dx+\displaystyle\int_0^y dy=C\\
&\left[\frac{x^2}{y}\right]_0^x+[y]_0^y=C,  \frac{x^2}{y}+y=C
\end{alignat}よって$$x^2+y^2=Cy$$







$$(4)  y(3x^2-ay)dx+x(2ay-3x^2)dy=0$$積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=3x^2y-ay^2,  Q=2axy-3x^2\\
&P_y=3x^2-2ay,  Q_x=2ay-9x^2\\
&\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{12x^2-4ay}{3x^2y-ay^2}=\frac{4(3x^2-ay)}{y(3x^2-ay)}=\frac{4}{y}\\
&μ=e^{-\int \frac{4}{y}dy}=e^{-4 \log y}=\frac{1}{y^4}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{y^4}\) を掛けます。$$\left(\frac{3x^2}{y^3}-\frac{a}{y^2}\right)dx+\left(\frac{2ax}{y^3}-\frac{3x^3}{y^4}\right)dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x \left(\frac{3x^2}{y^3}-\frac{a}{y^2}\right)dx=C\\
&\left[\frac{x^3}{y^3}-\frac{ax}{y^2}\right]_0^x=C,  \frac{x^3}{y^3}-\frac{ax}{y^2}=C\\
\end{alignat}よって$$x^3-axy=Cy^3$$





$$(5)  (2x+y)(y^2+1)dx+(2y^2+xy+1)xdy=0$$積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=2xy^2+2x+y^3+y,  Q=2xy^2+x^2y+x\\
&P_y=4xy+3y^2+1,  Q_x=2y^2+2xy+1\\
&\frac{P_y-Q_x}{P}=\frac{2xy+y^2}{(2x+y)(y^2+1)}=\frac{y(2x+y)}{(2x+y)(y^2+1)}=\frac{y}{y^2+1}\\
&μ=e^{-\int \frac{y}{y^2+1}dy}=e^{-\frac{1}{2} \log (y^2+1)}=\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{y^2+1}}\) を掛けます。$$(2x+y)\sqrt{y^2+1}dx+\frac{(2y^2+xy+1)x}{\sqrt{y^2+1}}dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x (2x+y)\sqrt{y^2+1}dx=C\\
&\sqrt{y^2+1}[x^2+xy]_0^x=C
\end{alignat}よって$$x(x+y)\sqrt{y^2+1}=C$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です