微分方程式[完全微分DE(積分因子(4))](23)

前回に引き続き、微分方程式に「積分因子」を掛けて解きます。このページでは積分因子が \(x^2+y^2\) の関数であるときを考えます。


積分因子が \( x^2+y^2(=u) \) の関数であるとき
その積分因子を \(μ\) とすると$$μ=e^{-\frac{1}{2}\int φ(u)dx},  \left(φ(u)=\frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}\right)$$となります。


<証明>
次の微分方程式が与えられたとします。$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$この微分方程式の「両辺に \(μ\) を掛けることで完全微分方程式になった」とすると$$μPdx+μQdy=0$$であり、このとき \((μP)_y=(μQ)_x\) が成立しています。よって$$μ_yP+μP_y=μ_xQ+μQ_x$$今、積分因子は \(x^2+y^2\) の関数を考えているので \(μ=f(x^2+y^2)=f(u)\) と置きます。\((u=x^2+y^2)\)
また \(μ_y=2yf’(u),  μ_x=2xf’(u)\) となることから
\begin{alignat}{2}
&2yPf’(u)+P_yf(u)=2xQf’(u)+Q_xf(u)\\
&2(yP-xQ)f’(u)=-(P_y-Q_x)f(u)\\
&\frac{f’(u)}{f(u)}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}
\end{alignat}\(\displaystyle \frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}=φ(u)\) と置き、両辺を \(u\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&\log f(u)=-\frac{1}{2}\displaystyle\int φ(u)du,  f(u)=e^{-\frac{1}{2}\int φ(u)du}
\end{alignat}以上より$$μ=e^{-\frac{1}{2}\int φ(u)dx},  \left(φ(u)=\frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}\right)$$




それでは以下の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  y-xy’=x+yy’\\
&(2)  (x^2+y^2+x)y’=y\\
\end{alignat}








<解答>
※積分因子を掛けた後 \(P_y=Q_x\) となることの確認は省略しています。


$$(1)  y-xy’=x+yy’=0$$
\begin{alignat}{2}
&xy’+yy’=y-x,  (x+y)dy=(y-x)dx\\
&(x-y)dx+(x+y)dy=0
\end{alignat}積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=x-y,  Q=x+y\\
&P_y=-1,  Q_x=1\\
&yP-xQ=y(x-y)-x(x+y)=xy-y^2-x^2-xy=-(x^2+y^2)\\
&\frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}=\frac{-2}{-(x^2+y^2)}=\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{2}{u}\\
&μ=e^{-\frac{1}{2}\int \frac{2}{u}du}=e^{- \log u}=\frac{1}{u}=\frac{1}{x^2+y^2}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}\) を掛けます。$$\frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\displaystyle\int_1^y \frac{1}{y}dy=C\\
&\left[\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)- \tan^{-1} \frac{x}{y}\right]_0^x+[\log y]_0^y=C\\
&\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)- \tan^{-1} \frac{x}{y}-\frac{1}{2} \log y^2+\log y=C
\end{alignat}よって$$\log (x^2+y^2)-2 \tan^{-1} \frac{x}{y}=C$$







$$(2)  (x^2+y^2+x)y’=y$$
\begin{alignat}{2}
&(x^2+y^2+x)dy=ydx,  ydx+(-x^2-y^2-x)dy=0\\
\end{alignat}積分因子の計算を行います。
\begin{alignat}{2}
&P=y,  Q=-x^2-y^2-x\\
&P_y=1,  Q_x=-2x-1\\
&yP-xQ=y^2+x(x^2+y^2+x)=y^2+x^3+xy^2+x^2\\
&       =y^2(x+1)+x^2(x+1)=(x^2+y^2)(x+1)\\
&\frac{P_y-Q_x}{yP-xQ}=\frac{2(x+1)}{(x^2+y^2)(x+1)}=\frac{2}{x^2+y^2}=\frac{2}{u}\\
&μ=e^{-\frac{1}{2}\int \frac{2}{u}du}=e^{- \log u}=\frac{1}{u}=\frac{1}{x^2+y^2}
\end{alignat} 両辺に \(\displaystyle \frac{1}{x^2+y^2}\) を掛けます。$$\frac{y}{x^2+y^2}dx+\left(-1-\frac{x}{x^2+y^2}\right)dy=0$$\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^x \frac{y}{x^2+y^2}dx-\displaystyle\int_0^y dy=C\\
&\left[ \tan^{-1} \frac{x}{y}\right]_0^x+[y]_0^y=C\\
\end{alignat}よって$$\tan^{-1} \frac{x}{y}-y=C$$

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