微分方程式[リッカチDE](16)

次の微分方程式をリッカチの微分方程式と呼びます。
(ただし\(P,Q,R\) は \(x\) の関数)$$y’+Py^2+Qy+R=0$$この微分方程式は特殊解の一つ \(y_1\) が分かることにより \(y=u+y_1\) とおいて、微分方程式を整理すると、1階線形微分方程式に帰着して解くことが出来ます。


<証明>
まず \(y’+Py^2+Qy+R=0\) の解の一つが \(y_1\) であるから$$y_1’+Py_1^2+Qy_1+R=0$$が成り立ちます。
\(y=u+y_1\) とおくと \(y’=u’+y_1’\) であるから、これらを代入すると
\begin{alignat}{2}
&y_1’+u’+P(y_1+u)^2+Q(y_1+u)+R=0\\
&y_1’+u’+P(y_1^2+2y_1u+u^2)+Q(y_1+u)+R=0\\
&u’+Pu^2+2Py_1u+Qu+(y_1’+Py_1^2+Qy_1+R)=0
\end{alignat}括弧内は \(0\) になるので$$u’+Pu^2+(2Py_1+Q)u=0,  u’+(2Py_1+Q)u=-Pu^2$$両辺に \(-u^{-2}\) を掛けます。$$-u^{-2}u’-(2Py_1+Q)u^{-1}=P,  (u^{-1})’-(2Py_1+Q)u^{-1}=P$$となって1階線形微分方程式に帰着する。



それでは次の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  y’+xy^2-(2x+1)y+x+1=0\\
&(2)  y’-y^2-3y+4=0\\
&(3)  y’=(y-1)\left(\frac{x}{x-1}-y\right)\\
&(4)  (2x^2-x)y’+4x-(1+4x)y+y^2=0\\
&(5)  xy’-y+2y^2=2x^2\\
\end{alignat}






<解答>
$$(1)  y’+xy^2-(2x+1)y+x+1=0$$\(y=1\) が特殊解なので
\(y=u+1\) と置きます。\((y’=u’)\)
\begin{alignat}{2}
&u’+x(u+1)^2-(2x+1)(u+1)+x+1=0\\
&u’+x(u^2+2u+1)-(2xu+2x+u+1)+x+1=0\\
&u’+xu^2+2xu+x-2xu-2x-u-1+x+1=0\\
&u’+xu^2-u=0,  u’-u=-xu^2\\
&-u^{-2}u’+u^{-1}=x,  (u^{-1})’+u^{-1}=x\\
&u^{-1}=e^{-\int dx}\left(\displaystyle\int xe^{\int dx}dx+C\right)\\
&   =e^{-x}\left(\displaystyle\int xe^{x}dx+C\right)\\
&   =e^{-x}(xe^x-e^x+C)\\
&   =Ce^{-x}+x-1\\
&u=\frac{1}{Ce^{-x}+x-1}
\end{alignat}よって$$y=\frac{1}{Ce^{-x}+x-1}+1$$






$$(2)  y’-y^2-3y+4=0$$\(y=1\) が特殊解なので
\(y=u+1\) と置きます。\((y’=u’)\)
\begin{alignat}{2}
&u’-(u+1)^2-3(u+1)+4=0\\
&u’-(u^2+2u+1)-3u-3+4=0\\
&u’-u^2-2u-1-3u+1=0\\
&u’-u^2-5u=0,  u’=u(u+5)\\
&\frac{1}{u(u+5)}du=dx,  \frac{1}{5}\displaystyle\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+5}\right)du=\displaystyle\int dx\\
&\frac{1}{5}\log \left|\frac{u}{u+5}\right|=x+C\\
&\log \left|\frac{u}{u+5}\right|=5x+C,  \frac{u}{u+5}=Ce^{5x}\\
&\frac{u+5}{u}=Ce^{-5x},  1+\frac{5}{u}=Ce^{-5x}\\
&\frac{5}{u}=Ce^{-5x}-1,  u=\frac{5}{Ce^{-5x}+1}
\end{alignat}よって$$y=\frac{5}{Ce^{-5x}+1}+1$$







$$(3)  y’=(y-1)\left(\frac{x}{x-1}-y\right)$$\(y=1\) が特殊解なので \(y=u+1\) と置きます。\((y’=u’)\)
\begin{alignat}{2}
&u’=u\left(\frac{x}{x-1}-u-1\right)\\
&  =\left(1+\frac{1}{x-1}\right)u-u(u+1)\\
&  =\frac{1}{x-1}u-u^2,  u’-\frac{1}{x-1}u=-u^2\\
&-u^{-2}u’+\frac{1}{x-1}u^{-1}=1,  (u^{-1})’+\frac{1}{x-1}u^{-1}=1\\
&u^{-1}=e^{-\int \frac{1}{x-1}dx}\left(e^{\int \frac{1}{x-1}dx}dx+C\right)\\
&   =e^{- \log (x-1)}\left(e^{\log (x-1)}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{x-1}\left(\displaystyle\int (x-1)dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{x-1}\left\{\frac{1}{2}(x-1)^2+C\right\}\\
&   =\frac{(x-1)^2+C}{2(x-1)}\\
&u=\frac{2(x-1)}{(x-1)^2+C}
\end{alignat}よって$$y=\frac{2(x-1)}{(x-1)^2+C}+1$$







$$(4)  (2x^2-x)y’+4x-(1+4x)y+y^2=0$$\(y=1\) が特殊解なので \(y=u+1\) と置きます。\((y’=u’)\)
\begin{alignat}{2}
&(2x^2-x)u’+4x-(1+4x)(u+1)+(u+1)^2=0\\
&(2x^2-x)u’+4x-u-1-4xu-4x+u^2+2u+1=0\\
&(2x^2-x)u’-4xu+u^2+u=0\\
&(2x^2-x)u’+(1-4x)u=-u^2\\
&u’-\frac{4x-1}{2x^2-x}u=-\frac{1}{2x^2-x}u^2\\
&-u^{-2}u’+\frac{4x-1}{2x^2-x}u^{-1}=\frac{1}{2x^2-x}\\
&(u^{-1})’+\frac{4x-1}{2x^2-x}u^{-1}=\frac{1}{2x^2-x}\\
&u^{-1}=e^{-\int \frac{4x-1}{2x^2-x}dx}\left(\displaystyle\int \frac{1}{2x^2-x}e^{\int \frac{4x-1}{2x^2-x}dx}dx+C\right)\\
&   =e^{\log (2x^2-x)}\left\{\displaystyle\int \frac{1}{2x^2-x} e^{\log (2x^2-x)}dx+C\right\}\\
&   =\frac{1}{2x^2-x}\left(\displaystyle\int dx+C\right)=\frac{1}{2x^2-x}\left(x+C\right)\\
&u=\frac{2x^2-x}{x+C}
\end{alignat}よって$$y=\frac{2x^2-x}{x+C}+1$$







$$(5)  xy’-y+2y^2=2x^2$$\(y=x\) が特殊解なので \(y=u+x\) と置きます。\((y’=u’+1)\)
\begin{alignat}{2}
&x(1+u’)-(x+u)+2(x+u)^2=2x^2\\
&x+xu’-x-u+2x^2+4xu+2u^2=2x^2\\
&xu’-u+4xu+2u^2=0\\
&xu’+(4x-1)u=-2u^2\\
&u’+\left(4-\frac{1}{x}\right)u=-\frac{2}{x}u^2\\
&-u^{-2}u’+\left(\frac{1}{x}-4\right)u^{-1}=\frac{2}{x}\\
&(u^{-1})’+\left(\frac{1}{x}-4\right)u^{-1}=\frac{2}{x}\\
&u^{-1}=e^{-\int \left(\frac{1}{x}-4\right)}\left\{\displaystyle\int \frac{2}{x}\cdot e^{\int \left(\frac{1}{x}-4\right)dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{-\log x+4x}\left\{\displaystyle\int \frac{2}{x}\cdot e^{\log x-4x}dx+C\right\}\\
&   =\frac{e^{4x}}{x}\left(\displaystyle\int \frac{2}{x}\cdot xe^{-4x}dx+C\right)\\
&   =\frac{e^{4x}}{x}\left(\displaystyle\int 2e^{-4x}dx+C\right)\\
&   =\frac{e^{4x}}{x}\left( -\frac{1}{2}e^{-4x}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{x}\left(Ce^{4x}-\frac{1}{2}\right)=\frac{2Ce^{4x}-1}{2x}
\end{alignat}よって$$y=x+\frac{2x}{2Ce^{4x}-1}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です