微分方程式[リッカチDE(Exercise)](17)

このページではリッカチの微分方程式の問題演習です。

それでは次の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1)  (x^3+x^2)y’+y^2-x(x+2)=0\\
&(2)  xy’+(m-1)ax^m(y-x)^2+y-2x=0\\
&(3)  (x^2+a)y’+2y^2-3xy-a=0\\
&(4)  x^{n+1}y’-(n-1)y^2=x^{2n}  (n≠2)\\
&(5)  y’= \cos x-y \sin x+y^2\\
&(6)  y’+y^2+y \sin 2x= \cos 2x\\
&(7)  y’+y^2 \sin x=2 \sec x \tan x
\end{alignat}





<解答>
$$(1)  (x^3+x^2)y’+y^2-x(x+2)=0$$\(y=x\) が特殊解なので
\(y=u+x\) と置きます。\((y’=u’+1)\)
\begin{alignat}{2}
&(x^3+x^2)(1+u’)+(x+u)^2-x(x+2)(x+u)=0\\
&x^3+x^2+(x^3+x^2)u’+x^2+2xu+u^2-x^3-x^2u-2x^2-2xu=0\\
&x^2(x+1)u’-x^2u=-u^2\\
&u’-\frac{1}{x+1}u=-\frac{1}{x^2(x+1)}u^2\\
&-u^{-2}u’+\frac{1}{x+1}u^{-1}=\frac{1}{x^2(x+1)}\\
&(u^{-1})’+\frac{1}{x+1}u^{-1}=\frac{1}{x^2(x+1)}\\
&u^{-1}=e^{-\int \frac{1}{x+1}dx}\left\{\displaystyle\int \frac{1}{x(x^2+1)}e^{\int \frac{1}{x+1}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{-\log (x+1)}\left\{\displaystyle\int \frac{1}{x(x^2+1)}e^{\log (x+1)}dx+C\right\}\\
&   =\frac{1}{x+1}\left(\displaystyle\int \frac{1}{x^2}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{x+1}\left(-\frac{1}{x}+C\right)=\frac{1}{x+1}\cdot \frac{Cx-1}{x}=\frac{Cx-1}{x(x+1)}\\
\end{alignat}よって$$y=x+\frac{x(x+1)}{Cx-1}$$







$$(2)  xy’+(m-1)ax^m(y-x)^2+y-2x=0$$\(y=x\) が特殊解なので
\(y=u+x\) と置きます。\((y’=u’+1)\)
\begin{alignat}{2}
&x(1+u’)+(m-1)ax^mu^2+x+u-2x=0\\
&x+xu’+(m-1)ax^mu^2+x+u-2x=0\\
&xu’+u=-(m-1)ax^mu^2\\
&u’+\frac{1}{x}u=-(m-1)ax^{m-1}u^2\\
&-u^{-2}u’-\frac{1}{x}u^{-1}=(m-1)ax^{m-1}\\
&(u^{-1})’-\frac{1}{x}u^{-1}=(m-1)ax^{m-1}\\
&u^{-1}=e^{\int \frac{1}{x}dx}\left\{\displaystyle\int (m-1)ax^{m-1}\cdot e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{\log x}\left\{\displaystyle\int (m-1)ax^{m-1}\cdot e^{-\log x}dx+C\right\}\\
&   =x\left\{\displaystyle\int (m-1)ax^{m-2}dx+C\right\}\\
&   =x(ax^{m-1}+C)\\
&  u=\frac{1}{Cx+ax^m}
\end{alignat}よって$$y=x+\frac{1}{Cx+ax^m}$$







$$(3)  (x^2+a)y’+2y^2-3xy-a=0$$\(y=x\) が特殊解なので
\(y=u+x\) と置きます。\((y’=u’+1)\)
\begin{alignat}{2}
&(x^2+a)(1+u’)+2(x+u)^2-3x(x+u)-a=0\\
&x^2+a+(x^2+a)u’+2(x^2+2xu+u^2)-3x^2-3xu-a=0\\
&x^2+(x^2+a)u’+2x^2+4xu+2u^2-3x^2-3xu=0\\
&(x^2+a)u’+xu=-2u^2\\
&u’+\frac{x}{x^2+a}u=-\frac{2u^2}{x^2+a}\\
&-u^{-2}u’-\frac{x}{x^2+a}u^{-1}=\frac{2}{x^2+a}\\
&(u^{-1})’-\frac{x}{x^2+a}u^{-1}=\frac{2}{x^2+a}\\
&u^{-1}=e^{\int \frac{x}{x^2+a}dx}\left(\displaystyle\int \frac{2}{x^2+a}\cdot e^{-\int \frac{x}{x^2+a}dx}dx+C\right)\\
&   =e^{\frac{1}{2} \log (x^2+a)}\left\{\displaystyle\int \frac{2}{x^2+a}\cdot e^{-\frac{1}{2} \log (x^2+a)}dx+C\right\}\\
&   =\sqrt{x^2+a}\left(\displaystyle\int \frac{2}{x^2+a}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2+a}}dx+C\right)\\
&   =\sqrt{x^2+a}\left(\displaystyle\int \frac{2}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}dx+C\right)\\
\end{alignat}括弧内の積分について \(x=\sqrt{a} \tan θ\) と置きます。このとき$$dx=\frac{\sqrt{a}}{ \cos^2 θ}dθ,  \tan θ=\frac{x}{\sqrt{a}},  \sin θ=\frac{\tan θ}{\sqrt{1+\tan^2 θ}}=\frac{\frac{x}{\sqrt{a}}}{\sqrt{1+\frac{x^2}{a}}}=\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}$$となるので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{(x^2+a)^{\frac{3}{2}}}dx=\displaystyle\int \frac{1}{(a+a \tan^2 θ)^{\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{ \cos^2 θ}dθ=\displaystyle\int \frac{ \cos^3 θ}{a\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{a}}{ \cos^2 θ}dθ\\
&             =\frac{1}{a}\displaystyle\int \cos θdθ=\frac{ \sin θ}{a}=\frac{x}{a\sqrt{a+x^2}}
\end{alignat}これを元の積分計算に代入します。
\begin{alignat}{2}
&u^{-1}=\sqrt{a+x^2}\left(\frac{2x}{a\sqrt{a+x^2}}+C\right)\\
&   =C\sqrt{a+x^2}+\frac{2x}{a}=\frac{aC\sqrt{a+x^2}+2x}{a}\\
\end{alignat}よって$$y=x+\frac{a}{aC\sqrt{a+x^2}+2x}$$







$$(4)  x^{n+1}y’-(n-1)y^2=x^{2n}  (n≠2)$$\(y=x^n\) が特殊解なので
\(y=u+x^n\) と置きます。\((y’=u’+nx^{n-1})\)
\begin{alignat}{2}
&x^{n+1}(nx^{n-1}+u’)-(n-1)(x^n+u)^2=x^{2n}\\
&nx^{2n}+x^{n+1}u’-(n-1)(x^{2n}+2x^nu+u^2)=x^{2n}\\
&nx^{2n}+x^{n+1}u’-nx^{2n}-2nx^nu-nu^2+x^{2n}+2x^nu+u^2=x^{2n}\\
&x^{n+1}u’-2nx^nu-nu^2+2x^nu+u^2=0\\
&x^{n+1}u’-(2n-2)x^nu=nu^2-u^2\\
&x^{n+1}u’-2(n-1)x^nu=(n-1)u^2\\
&u’-\frac{2(n-1)}{x}u=\frac{n-1}{x^{n+1}}u^2\\
&-u^{-2}u’+\frac{2(n-1)}{x}u^{-1}=-\frac{n-1}{x^{n+1}}\\
&(u^{-1})’+\frac{2(n-1)}{x}u^{-1}=-\frac{n-1}{x^{n+1}}\\
&u^{-1}=e^{-\int \frac{2(n-1)}{x}dx}\left(-\displaystyle\int \frac{n-1}{x^{n+1}}\cdot e^{\int \frac{2(n-1)}{x}dx}dx+C\right)\\
&   =e^{-2(n-1) \log x}\left\{-\displaystyle\int \frac{n-1}{x^{n+1}}\cdot e^{2(n-1)\log x}dx+C\right\}\\
&   =\frac{1}{x^{2(n-1)}}\left(-\displaystyle\int \frac{n-1}{x^{n+1}} \cdot x^{2n-2}dx+C\right)\\
&   =\frac{1}{x^{2(n-1)}}\left(-\displaystyle\int (n-1)x^{n-3}dx+C\right)\\
&u^{-1}=\frac{1}{x^{2(n-1)}}\left(C-\frac{n-1}{n-2}x^{n-2}\right)
\end{alignat}よって$$y=x^n+x^{2n-2}\left(C-\frac{n-1}{n-2}x^{n-2}\right)^{-1}$$







$$(5)  y’= \cos x-y \sin x+y^2$$\(y=\sin x\) が特殊解なので
\(y=u+ \sin x\) と置きます。\((y’=u’+\cos x)\)
\begin{alignat}{2}
&u’+ \cos x = \cos x-(u+ \sin x) \sin x+(u+ \sin x)^2\\
&u’=-u \sin x- \sin^2 x +u^2+2u \sin x+ \sin^2 x\\
&u’-u \sin x=u^2\\
&-u^{-2}u’+(\sin x)u^{-1}=-1\\
&(u^{-1})’+(\sin x)u^{-1}=-1\\
&u^{-1}=e^{-\int \sin xdx}\left\{\displaystyle\int (-1)e^{\int \sin xdx}dx+C\right\}\\
&   =e^{\cos x}\left(C-\displaystyle\int e^{-\cos x}dx\right)\\
&   =Ce^{\cos x}-e^{ \cos x}\displaystyle\int e^{-\cos x}dx\\
\end{alignat}よって$$y=\sin x+\left(Ce^{\cos x}-e^{ \cos x}\displaystyle\int e^{-\cos x}dx\right)^{-1}$$







$$(6)  y’+y^2+y \sin 2x= \cos 2x$$\(y=\cot x\) が特殊解なので
\(y=u+ \cot x\) と置きます。\(\displaystyle (y’=u’-\frac{1}{\sin^2 x})\)
\begin{alignat}{2}
&u’-\frac{1}{ \sin^2 x}+(u+ \cot x)^2+(u+ \cot x) \sin 2x= \cos 2x\\
&u’-\frac{1}{ \sin^2 x}+u^2+2u \cot x+ \cot^2 x+u \sin 2x+ \cot x \sin 2x= \cos 2x
\end{alignat}式内の三角関数の計算について
\begin{alignat}{2}
&\cot^2 x-\frac{1}{ \sin^2 x}=-1\\
&\cot x \sin 2x- \cos 2x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot 2\sin x \cos x- \cos^2 x+ \sin^2 x=\cos^2 x+\sin^2 x=1\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
&u’+u^2-1+(2 \cot x+ \sin 2x)u+1=0\\
&u’+(2 \cot x+ \sin 2x)u=-u^2\\
&-u^{-2}u’-(2 \cot x+ \sin 2x)u^{-1}=1\\
&(u^{-1})’-(2 \cot x+ \sin 2x)u^{-1}=1\\
&u^{-1}=e^{\int (2 \cot x +\sin 2x)dx}\left\{e^{-\int (2 \cot x +\sin 2x)dx}dx+C\right\}\\
&   =e^{2 \log \sin x-\frac{1}{2}\cos 2x}\left\{e^{-2 \log \sin x+\frac{1}{2}\cos 2x}dx+C\right\}\\
&   =e^{-\frac{1}{2}\cos 2x} \sin^2 x\left(C+\displaystyle\int \frac{e^{\frac{1}{2} \cos 2x}}{\sin^2 x}dx\right)\\
&u=e^{\frac{1}{2}\cos 2x} \csc^2 x \left(C+\displaystyle\int \frac{e^{\frac{1}{2} \cos 2x}}{\sin^2 x}dx\right)^{-1}\\
\end{alignat}よって$$y= \cot x+e^{\frac{1}{2}\cos 2x} \csc^2 x \left(C+\displaystyle\int \frac{e^{\frac{1}{2} \cos 2x}}{\sin^2 x}dx\right)^{-1}$$







$$(7)  y’+y^2 \sin x=2 \sec x \tan x$$\(y=\sec x\) が特殊解なので
\(y=u+ \sec x\) と置きます。\(\displaystyle \left(y’=u’+\frac{\sin x}{\cos^2 x}\right)\)
\begin{alignat}{2}
&u’+\frac{\sin x}{\cos^2 x}+(u+ \sec x)^2 \sin x=2 \sec x \tan x\\
&u’+\frac{\sin x}{\cos^2 x}+(u^2+2u \sec x+ \sec^2 x) \sin x=\frac{2 \sin x}{ \cos^2 x}\\
&u’+\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\left(u^2 \sin^2x+2u \frac{\sin x}{\cos x}+ \frac{\sin x}{\cos^2 x}\right) =\frac{2 \sin x}{ \cos^2 x}\\
&u’+u^2 \sin x+\frac{2u \sin x}{\cos x}=0\\
&u’+\frac{2u \sin x}{\cos x}u=-u^2 \sin x\\
&-u^{-1}u’-\frac{2 \sin x}{\cos x}u^{-1}=\sin x\\
&(u^{-1})’-\frac{2 \sin x}{\cos x}u^{-1}=\sin x\\
&u^{-1}=e^{\int \frac{2 \sin x}{\cos x}dx}\left(\displaystyle\int \sin x e^{-\int \frac{2 \sin x}{\cos x}dx}dx+C \right)\\
&   =e^{-2 \log cos x}\left(\displaystyle\int \sin x e^{2 \log \cos x}dx+C \right)\\
&   =\frac{1}{ \cos^2 x}\left(\displaystyle\int \sin x \cos^2 xdx+C\right)\\
&   =\frac{1}{\cos^2 x}\left(C-\frac{1}{3}\cos^3 x\right)=\frac{1}{3\cos^2 x}(C- \cos^3 x)\\
&  u=\frac{3 \cos^2 x}{C- \cos^3 x}
\end{alignat}よって$$y=\sec x+\frac{3 \cos^2 x}{C- \cos^3 x}$$

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