微分方程式[ヤコビDE](14)

次の微分方程式をヤコビの微分方程式と呼びます。$$P(x,y)(xdy-ydx)+Q(x,y)dy+R(x,y)=0$$ただし\(P(x,y),Q(x,y),R(x,y)\) は全て \(x,y\) の同次式で
\(P(x,y)\) は \(m\) 次、\(Q(x,y),R(x,y)\) は \(n\) 次とします。

このとき、このヤコビDEはベルヌーイDEに帰着する。


<証明>
\(y=ux\) と置いて両辺を微分すると$$\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u,  dy=xdu+udx,  xdy=x^2du+xudx$$また \(P,Q,R\) はそれぞれ
\begin{alignat}{2}
&P(x,y)=P(x,ux)=x^mp(u)\\
&Q(x,y)=Q(x,ux)=x^nq(u)\\
&R(x,y)=R(x,ux)=x^nr(u)\\
\end{alignat}と書けるので、これらをヤコビDEに代入すると
\begin{alignat}{2}
&x^mp(u)(x^2du+xudx-xudx)+x^nq(u)(xdu+udx)+x^nr(u)=0\\
&x^{m+2}p(u)du+x^{n+1}q(u)du+x^nuq(u)dx+x^nr(u)dx=0\\
&\{x^{m+2}p(u)+x^{n+1}q(u)\}du+x^n\{uq(u)+r(u)\}dx=0\\
&\frac{dx}{du}+\frac{x^{m+2}p(u)}{x^n\{uq(u)+r(u)\}}+\frac{x^{n+1}p(u)}{x^n\{uq(u)+r(u)\}}=0\\
&\frac{dx}{du}+\frac{x^{m-n+2}p(u)}{uq(u)+r(u)}+\frac{xq(u)}{uq(u)+r(u)}=0\\
\end{alignat}移項すれば$$\frac{dx}{du}+\frac{q(u)}{uq(u)+r(u)}x=-\frac{p(u)}{uq(u)+r(u)}x^{m-n+2}$$となって、これはベルヌーイの微分方程式である。






それでは以下の微分方程式を解いてみましょう。
\begin{alignat}{2}
&(1) \frac{y}{x}(xdy-ydx)+(x+y)dy+(x-y)dx=0\\
&(2) \frac{1}{x^2y}(xdy-ydx)+xdy+2ydx=0
\end{alignat}






<解答>
$$(1)  \frac{y}{x}(xdy-ydx)+(x+y)dy+(x-y)dx=0$$
この微分方程式のそれぞれの次数、及び \(p(u),q(u),r(u)\) は$$m=0,  n=1,  p(u)=u,  q(u)=u+1,  r(u)=1-u$$であるから
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{du}+\frac{u+1}{u(u+1)+1-u}x=-\frac{u}{u(u+1)+1-u}x\\
&\frac{dx}{du}+\frac{u+1}{u^2+1}x=-\frac{u}{u^2+1}x\\
&\frac{dx}{du}+\frac{2u+1}{u^2+1}x=0\\
&\frac{1}{x}dx+\frac{2u+1}{u^2+1}du=0
\end{alignat}{2}両辺を積分します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x}dx+\displaystyle\int \frac{2u+1}{u^2+1}du=C\\
&\log |x|+\log|u^2+1|+\tan^{-1} u=C\\
&\log |x(u^2+1)|=C- \tan^{-1} u\\
&x(u^2+1)=e^{C- \tan^{-1} u}\\
&x^2\left(\frac{y^2}{x^2}+1\right)=Cxe^{- \tan^{-1} \frac{y}{x}}
\end{alignat}よって$$x^2+y^2=Cxe^{- \tan^{-1} \frac{y}{x}}$$







$$(2) \frac{1}{x^2y}(xdy-ydx)+xdy+2ydx=0$$この微分方程式のそれぞれの次数、及び \(p(u),q(u),r(u)\) は$$m=-3,  n=1,  p(u)=\frac{1}{u},  q(u)=1,  r(u)=2u$$であるから
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{du}+\frac{1}{u+2u}x=-\frac{\frac{1}{u}}{u+2u}x^{-2}\\
&\frac{dx}{du}+\frac{1}{3u}x=-\frac{1}{3u^2}x^{-2}
\end{alignat}両辺に \(3x^2\) を掛けます。$$3x^2x’+\frac{1}{u}x^3=-\frac{1}{u^2},  (x^3)’+\frac{1}{u}x^3=-\frac{1}{u^2}$$1階DEの解の公式を用いて
\begin{alignat}{2}
&x^3=e^{-\int \frac{1}{u}du}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{1}{u^2}\right)e^{\int \frac{1}{u}du}du+C\right\}\\
&  =e^{- \log u}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{1}{u^2}\right)e^{\log u}du+C\right\}\\
&  =\frac{1}{u}\left\{\displaystyle\int \left(-\frac{1}{u}\right)du+C\right\}\\
&  =\frac{1}{u}(-\log u +C)\\
&x^3=\frac{x}{y}\left(C-\log \frac{y}{x}\right)
\end{alignat}以上より$$x^2y=C-\log \frac{y}{x}$$

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