微分公式(2)

\begin{alignat}{2}
&(1) (\sinh x)’=\cosh x\\
&(2) (\cosh x)’=\sinh x\\
&(3) (\tanh x)’=\frac{1}{\cosh^2 x}\\
&(4) ( csch x)’=- \coth x \cdot csch x\\
&(5) ( sech x)’=- \tanh x \cdot sechx\\
&(6) ( \coth x)’=-csch^2x\\
&(7) (\sin^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ( -1 \lt x \lt 1 ) \\
&(8) ( \cos^{-1} x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ( -1 \lt x \lt 1 ) \\
&(9) ( \tan^{-1} x)’=\frac{1}{1+x^2}\\
&(10) ( \csc^{-1} x)’=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\
&(11) ( \sec^{-1} x)’=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\
&(12) ( \cot^{-1} x)’=-\frac{1}{1+x^2}\\
&(13) ( \sinh^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
&(14) ( \cosh^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} ( x \gt 1)\\
&(15) ( \tanh^{-1} x)’=\frac{1}{1-x^2}  ( -1 \lt x \lt 1 ) \\
&(16) (csch^{-1}x)’=-\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} ( x ≠0 ) \\
&(17) (sech^{-1}x)’=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} ( 0 \lt x \leq 1) \\
&(18) ( \coth^{-1} x)’=\frac{1}{1-x^2}  ( |x| \gt 1 )
\end{alignat}



<証明>
\begin{alignat}{2}
&(1) (\sinh x)’=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)’=\frac{e^x+e^{-x}}{2}= \cosh x\\
&(2) (\cosh x)’=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)’=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x\\
&(3) (\tanh x)’=\left(\frac{ \sinh x}{ \cosh x}\right)’=\frac{ \cosh^2 x-\sinh^2 x}{ \cosh^2 x}=\frac{1}{ \cosh^2 x}\\
&(4) (cschx)’=\left(\frac{1}{ \sinh x}\right)’=-\frac{ \cosh x}{ \sinh^2 x}\\
&          =-\frac{ \cosh x}{ \sinh x}\cdot \frac{1}{ \sinh x}=- \coth x \cdot cschx\\
&(5) (sechx)’=\left(\frac{1}{ \cosh x}\right)’=-\frac{ \sinh x}{ \cosh^2 x}\\
&          =-\frac{ \sinh x}{ \cosh x}\cdot \frac{1}{ \cosh x}=- \tanh x \cdot sechx\\
&(6) ( \coth x)’=\left(\frac{ \cosh x}{ \sinh x}\right)’=\frac{ \sinh^2 x- \cosh^2 x}{ \sinh^2 x}\\
&          =-\frac{1}{ \sinh^2 x}=-csch^2x
\end{alignat}

(7) \(y= \sin^{-1} x (-1 \lt x \lt 1 )\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x= \sin y ( -\frac{π}{2} \lt y \lt \frac{π}{2} )\) となりますので、これを \(y\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{dy}= \cos y, \frac{dy}{dx}=\frac{1}{ \cos y} ( cosy \gt 0 )\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1- \sin^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{alignat}$$( \sin^{-1} x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

(8) \(y= \cos^{-1} x (-1 \lt x \lt 1 )\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x= \cos y ( 0 \lt y \lt π )\) となりますので、これを \(y\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{dy}=- \sin y, \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{ \sin y} ( siny \gt 0 )\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1- \cos^2 y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{alignat}$$( \cos^{-1} x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

(9) \(y= \tan^{-1} x (-{\infty} \lt x \lt {\infty} )\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x= \tan y ( -\frac{π}{2} \lt y \lt \frac{π}{2} )\) となりますので、これを \(y\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{dx}{dy}=\frac{1}{ \cos^2 y}=1+ \tan^2 y\\
&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+ \tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}
\end{alignat}$$( \tan^{-1} x)’=\frac{1}{1+x^2}$$

(10) \(y=csc^{-1}x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x=cscy=\frac{1}{ \sin y},  \sin y=\frac{1}{x}\) となりますので、これの両辺を微分します。$$ \cos ydy=-\frac{1}{x^2}dx, \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{ \cos y}$$\(\displaystyle \cos y=\sqrt{1- \sin^2 y}=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\) ですので$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{ \cos y}=-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$$$(csc^{-1}x)’=-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} $$
 


(11) \(y=sec^{-1}x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x=secy=\frac{1}{ \cos y},  \cos y=\frac{1}{x}\) となりますので、これの両辺を微分します。$$- \sin ydy=-\frac{1}{x^2}dx, \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{ \sin y}$$\(\displaystyle \sin y=\sqrt{1- \cos^2 y}=\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\) ですので$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{ \cos y}=\frac{1}{x^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$$$(sec^{-1}x)’=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} $$


(12) \(y=\cot^{-1} x\) の \(x\) と \(y\) を入れ替えると
  \(\displaystyle x= \cot y=\frac{1}{ \tan y},  \tan y=\frac{1}{x}\) となりますので、これの両辺を微分します。$$\frac{1}{ \cos^2 y}dy=-\frac{1}{x^2}dx, \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} \cdot \cos^2 y$$\(\displaystyle \cos^2 y=\frac{1}{1+ \tan^2 y}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{x^2}{1+x^2}\) ですので$$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} \cdot \cos^2 y=-\frac{1}{x^2}\cdot \frac{x^2}{1+x^2}=-\frac{1}{1+x^2}$$$$( \cot^{-1} x)’=-\frac{1}{1+x^2}$$


\begin{alignat}{2}
&(13) ( \sinh^{-1} x)=\{ \log (x+\sqrt{x^2+1})\}’=\frac{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x}{x+\sqrt{x^2+1}}\\
&             =\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
&\\
&\\
&(14) ( \cosh^{-1} x)’=\{ \log (x+\sqrt{x^2-1})\}’=\frac{1+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\cdot 2x}{x+\sqrt{x^2-1}}\\
&             =\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{(x+\sqrt{x^2-1})\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
&\\
&\\
&\\
&(15) ( \tanh^{-1} x)’=\left\{\frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right\}’\\
&             =\frac{1}{2}\{ \log (1+x)- \log (1-x)\}’\\
&             =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{1-x^2}
&\\
&\\
&\\
&(16)  (csch^{-1}x)’=\left\{log\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)\right\}’ \\
&=\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x \cdot x-(1+\sqrt{1+x^2})}{x^2}\\
&=\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{x^2-\sqrt{1+x^2}(1+\sqrt{1+x^2})}{x^2\sqrt{1+x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{x^2-\sqrt{1+x^2}-(1+x^2)}{x\sqrt{1+x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{x^2-\sqrt{1+x^2}-1-x^2}{x\sqrt{1+x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{-\sqrt{1+x^2}-1}{x\sqrt{1+x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{-(1+\sqrt{1+x^2})}{x\sqrt{1+x^2}}=-\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} \\
&\\
&\\
&\\
&(17)  (sech^{-1}x)’=\left\{ \log \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\right\}’ \\
&=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x) \cdot x-(1+\sqrt{1-x^2})}{x^2}\\
&=\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-x^2-\sqrt{1-x^2}(1+\sqrt{1-x^2})}{x^2\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-x^2-\sqrt{1-x^2}-(1-x^2)}{x\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{-x^2-\sqrt{1-x^2}-1+x^2}{x\sqrt{1-x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-\sqrt{1-x^2}-1}{x\sqrt{1+x^2}}\\
&=\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot \frac{-(1+\sqrt{1-x^2})}{x\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} \\
&\\
&\\
&\\
&(18) (\coth^{-1} x)’=\left\{\frac{1}{2} \log \left(\frac{x+1}{x-1}\right)\right\}’\\
&             =\frac{1}{2}\{ \log (x+1)- \log (x-1)\}’\\
&             =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{1-x^2}
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です