微分演算子[1]

例えば、\(x\) で微分することを \(\displaystyle \frac{d}{dx}\) や「\(’\)」(ダッシュ)を用いて表しますが、

これを微分演算子 \(\displaystyle D=\frac{d}{dx}\) とも表します。

この \(D\) について、下記の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  D^0=1\\
&(2)  D^0 f(x)=f(x)\\
&(3)  D^n=\frac{d^n}{dx^n}\\
&(4)  (D^m \pm D^n)f(x)=D^mf(x)\pm D^nf(x)\\
&(5)  D^m \left\{αf(x)\right\}=αD^mf(x)\\
&(6)  D^m\left\{D^nf(x)\right\}=D^n\left\{D^mf(x)\right\}=D^{m+n}f(x)\\
\end{alignat}(通常の微分演算と同様に考えるだけなので、証明は省略します。)

また、この \(D\) を分母に置くことを逆演算子と呼び、これは積分を表します。

この逆演算子について、下記の公式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1}{D}f(x)=\displaystyle\int f(x)dx\\
&(2)  \frac{1}{D^n}f(x)=\displaystyle\int \displaystyle\int \cdots \displaystyle\int f(x)(dx)^n\\
&(3)  \frac{1}{D-α}f(x)=e^{αx}\displaystyle\int e^{-αx}f(x)dx\\
&(4)  \frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_n)}f(x)=e^{α_1x}\displaystyle\int e^{-α_1x} \cdot e^{α_2x}\displaystyle\int e^{-α_2x} \cdots e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx} f(x)(dx)^n
\\
&(5)  \frac{1}{1-D}=1+D+D^2+D^3+ \cdots =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} D^n\\
\end{alignat}

<証明>

\((1)\) 次のように \(f(x)\) を \(x\) で積分した関数を \(y\) とします。 $$y=\displaystyle\int f(x)dx$$両辺を \(x\) で微分します。両辺を \(D\) で割ります。$$Dy=f(x),  y=\frac{1}{D}f(x)$$以上より$$\frac{1}{D}f(x)=\displaystyle\int f(x)dx$$(これは逆演算子が「積分」を表すことを意味しています。)





\((2)\) 両辺を \(n\) 回 \(x\) で積分することを意味するだけなので$$\frac{1}{D^n}f(x)=\displaystyle\int \displaystyle\int \cdots \displaystyle\int f(x)(dx)^n$$






\((3)\) 次のような1階線形微分方程式を考えます。$$Dy-αy=f(x),  (D-α)y=f(x)$$すなわち$$y’-αy=f(x),  \left(y=\frac{1}{D-α}f(x)  \cdots (A)\right)$$この同次方程式の解は \(y=Ce^{αx}\) であるので、

\(y=g(x)e^{αx}\) と置いて、定数変化法で解きます。代入すると
\begin{alignat}{2}
\{g(x)e^{αx}\}’-αg(x)e^{αx}&=f(x)\\
&\\
g’(x)e^{αx}+αg(x)e^{αx}-αg(x)e^{αx}&=f(x)\\
&\\
g’(x)e^{αx}&=f(x)\\
&\\
g’(x)&=e^{-αx}f(x)\\
&\\
g(x)=\displaystyle\int e^{-αx}f(x)dx\\
\end{alignat}これを \(y=g(x)e^{αx}\) に代入します。$$y=e^{αx}\displaystyle\int e^{-αx}f(x)dx$$\((A)\) の式と結び付けます。$$\frac{1}{D-α}f(x)=e^{αx}\displaystyle\int e^{-αx}f(x)dx$$






\((4)\) \((3)\) の式を繰り返し用います。
\begin{alignat}{2}
&  \frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_{n-1})(D-α_n)} f(x)\\
&=\frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_{n-1})} \left\{ \frac{1}{D-α_n}f(x)\right\}\\
&=\frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_{n-1})} \cdot e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx} f(x)dx\\
&=\frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_{n-2})} \cdot \frac{1}{D-α_{n-1}} \left\{e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx} f(x)dx\right\}\\
&=\frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_{n-2})} e^{α_{n-1}x}\displaystyle\int e^{-α_{n-1}x}\left\{e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx}f(x)dx\right\}dx\\
&\\
&                  \cdots \\
&\\
&=e^{α_1x}\displaystyle\int e^{-α_1x} \cdot e^{α_2x}\displaystyle\int e^{-α_2x} \cdots e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx} f(x)(dx)^n
\end{alignat}以上より$$\frac{1}{(D-α_1)(D-α_2) \cdots (D-α_n)}f(x)=e^{α_1x}\displaystyle\int e^{-α_1x} \cdot e^{α_2x}\displaystyle\int e^{-α_2x} \cdots e^{α_nx}\displaystyle\int e^{-α_nx} f(x)(dx)^n$$







\((5)\) \(\displaystyle y=\frac{1}{1-D}f(x)\) を変形します。$$(1-D)y=f(x),  y-Dy=f(x),  y=f(x)+Dy$$上記の右の式において、右辺の \(y\) に繰り返し \(y=f(x)+Dy\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
y&=f(x)+Dy=f(x)+D\{f(x)+Dy\}\\
&\\
&=f(x)+Df(x)+D^2y\\
&\\
&=f(x)+Df(x)+D^2\{f(x)+Dy\}\\
&\\
&=f(x)+Df(x)+D^2f(x)+D^3y\\
&\\
&       \cdots \\
&\\
&=f(x)+Df(x)+D^2f(x)+D^3f(x)+D^4f(x)+ \cdots \\
&\\
y&=(1+D+D^2+D^3+ \cdots )f(x)\\
\end{alignat}\(\displaystyle y=\frac{1}{1-D}f(x)\) と演算子の部分を比較すれば、以上より$$\frac{1}{1-D}=1+D+D^2+D^3+ \cdots =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} D^n$$

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