微分演算子[5]

以下は逆演算子の公式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1}{D^2+a^2}x \sin ax =\frac{1}{4a^2}(x\sin ax-ax^2 \cos ax)\\
&(2)  \frac{1}{D^2+a^2} x \cos ax=\frac{1}{4a^2}(x \cos ax+ax^2\sin ax)\\
&(3)  \frac{1}{D^2+a^2}x \sin (ax+b) =\frac{1}{4a^2}\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)\}\\
&(4)  \frac{1}{D^2+a^2} x \cos (ax+b)=\frac{1}{4a^2}\{x \cos (ax+b)+ax^2\sin (ax+b)\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a ≠0\)















<証明>

\((3)\) \((D^2+a^2)\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)\}\) を計算します。

\begin{alignat}{2}
&   (D^2+a^2)\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)\\
&\\
&=D^2\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)\}+a^2 x \sin (ax+b)-a^3x^2 \cos (ax+b)\\
&\\
&=D[\sin (ax+b)+ax \cos (ax+b)-a\{2x \cos (ax+b)-ax^2 \sin (ax+b)\}]\\
&                    +a^2 x \sin (ax+b)-a^3x^2 \cos (ax+b)\\
&\\
&=a \cos (ax+b)+a\{\cos (ax+b)-ax \sin (ax+b)\}-2a \{\cos (ax+b)-ax \sin (ax+b)\}\\
&          +a^2\{2x \sin (ax+b)+ax^2 \cos (ax+b)\}+a^2 x \sin (ax+b)-a^3x^2 \cos (ax+b)\\
&\\
&=a \cos (ax+b)+a \cos (ax+b)-a^2x \sin (ax+b)-2a \cos (ax+b)\\
&          +2a^2x \sin (ax+b) +2a^2x \sin (ax+b)+a^3x^2 \cos (ax+b)+a^2x \sin (ax+b)-a^3x^2 \cos (ax+b)\\
&\\
&=4a^2x \sin (ax+b)
\end{alignat}よって$$(D^2+a^2)\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)=4a^2x \sin (ax+b)$$となるので、両辺を \(4a^2(D^2+a^2)\) で割ります。以上より$$\frac{1}{D^2+a^2}x \sin (ax+b) =\frac{1}{4a^2}\{x\sin (ax+b)-ax^2 \cos (ax+b)\}  (a≠0)$$







\((4)\) \((D^2+a^2)\{x\cos (ax+b)+ax^2 \sin (ax+b)\}\) を計算します。

\begin{alignat}{2}
&   (D^2+a^2)\{x\cos (ax+b)+ax^2 \sin (ax+b)\\
&\\
&=D^2\{x\cos (ax+b)+ax^2 \sin (ax+b)\}+a^2 x \cos (ax+b)+a^3x^2 \sin (ax+b)\\
&\\
&=D[\cos (ax+b)-ax \sin (ax+b)+a\{2x \sin (ax+b)+ax^2 \cos (ax+b)\}]\\
&                    +a^2 x \cos (ax+b)+a^3x^2 \sin (ax+b)\\
&\\
&=-a \sin (ax+b)-a\{\sin (ax+b)+ax \cos (ax+b)\}+2a \{\sin (ax+b)+ax \cos (ax+b)\}\\
&          +a^2\{2x \cos (ax+b)-ax^2 \sin (ax+b)\}+a^2 x \cos (ax+b)+a^3x^2 \sin (ax+b)\\
&\\
&=-a \sin (ax+b)-a \sin (ax+b)-a^2x \cos (ax+b)+2a \sin (ax+b)\\
&          +2a^2x \cos (ax+b) +2a^2x \cos (ax+b)-a^3x^2 \sin (ax+b)+a^2x \cos (ax+b)+a^3x^2 \sin (ax+b)\\
&\\
&=4a^2x \cos (ax+b)
\end{alignat}よって$$(D^2+a^2)\{x\cos (ax+b)+ax^2 \sin (ax+b)=4a^2x \cos (ax+b)$$となるので、両辺を \(4a^2(D^2+a^2)\) で割ります。以上より$$\frac{1}{D^2+a^2} x \cos (ax+b)=\frac{1}{4a^2}\{x \cos (ax+b)+ax^2\sin (ax+b)\}  (a≠0)$$








\((1)(2)\) は \((3)(4)\) の式で \(b=0\) することで直ちに得ます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1}{D^2+a^2}x \sin ax =\frac{1}{4a^2}(x\sin ax-ax^2 \cos ax)\\
&(2)  \frac{1}{D^2+a^2} x \cos ax=\frac{1}{4a^2}(x \cos ax+ax^2\sin ax)\\
\end{alignat}


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