微分演算子[6]

以下は、逆演算子の公式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{1}{(D-a)^2+b^2}f(x)=\frac{e^{ax}\sin bx}{b} \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx-\frac{e^{ax} \cos bx}{b}\displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx\\
&(2)  \frac{1}{D^2+b^2}f(x)=\frac{\sin bx}{b} \displaystyle\int \cos bx f(x)dx-\frac{\cos bx}{b}\displaystyle\int \sin bx f(x)dx\\
\end{alignat}ただし、どちらも \(b≠0\)












<証明>

\((1)\) 左辺を部分分数分解します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{(D-a)^2+b^2}f(x)&=\frac{1}{(D-a)^2-(ib)^2}f(x)=\frac{1}{(D-a-ib)(D-a+ib)}f(x)\\
&=\frac{1}{2ib}\left(\frac{1}{D-a-ib}-\frac{1}{D-a+ib}\right)f(x)\\
&=\frac{1}{2ib}\left\{\frac{1}{D-(a+ib)}f(x)-\frac{1}{D-(a-ib)}f(x)\right\}\\
\end{alignat}ここで次の微分演算子の公式を用います。(詳細はこちらです)$$\frac{1}{D-α}f(x)=e^{αx}\displaystyle\int e^{-αx}f(x)dx$$それぞれ計算します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{D-(a+ib)}f(x)&=e^{a+ib}\displaystyle\int e^{-(a+ib)x}f(x)dx\\
&=e^{ax}(\cos bx+i \sin bx)\displaystyle\int e^{-ax}(\cos bx-i \sin bx)f(x)dx\\
&=e^{ax}(\cos bx+i \sin bx) \left\{\displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)-i\displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx\right\}\\
&=e^{ax}\left\{\cos bx \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx-i \cos bx \displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx +i \sin bx \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx+\sin bx\displaystyle\int e^{-ax} \sin bxdx \right\}\\
&\\
\frac{1}{D-(a-ib)}f(x)&=e^{a-ib}\displaystyle\int e^{-(a-ib)x}f(x)dx\\
&=e^{ax}(\cos bx-i \sin bx)\displaystyle\int e^{-ax}(\cos bx+i \sin bx)f(x)dx\\
&=e^{ax}(\cos bx-i \sin bx) \left\{\displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)+i\displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx\right\}\\
&=e^{ax}\left\{\cos bx \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx+i \cos bx \displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx -i \sin bx \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx+\sin bx\displaystyle\int e^{-ax} \sin bxdx \right\}\\
\end{alignat}であるので、元の計算に戻ると
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{2ib}\left\{\frac{1}{D-(a+ib)}f(x)-\frac{1}{D-(a-ib)}f(x)\right\}&=\frac{1}{2ib}\left\{2i \sin bx \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx-2i \cos bx \displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx\right\}\\
&=\frac{\sin bx}{b} \displaystyle\int \cos bx f(x)dx-\frac{\cos bx}{b}\displaystyle\int \sin bx f(x)dx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{1}{(D-a)^2+b^2}f(x)=\frac{e^{ax}\sin bx}{b} \displaystyle\int e^{-ax} \cos bx f(x)dx-\frac{e^{ax} \cos bx}{b}\displaystyle\int e^{-ax} \sin bx f(x)dx  (b≠0)$$







\((2)\) \((1)\) の式で \(a=0\) とすればよく$$\frac{1}{D^2+b^2}f(x)=\frac{\sin bx}{b} \displaystyle\int \cos bx f(x)dx-\frac{\cos bx}{b}\displaystyle\int \sin bx f(x)dx$$

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