微分の定義式

「導関数」とは「接線の傾きを表す関数を求めること」であり、
「微分」とは「導関数を求めること」です。
ここでは、どのような考え方で「接線の傾きを求めるのか」を確認します。

下の図のように関数 \(y=f(x)\) とその曲線上の二点 \(A,B\) を通るような直線を引きます。点 \(A\) と点 \(B\) の \(x\) 座標の差は \(h\) とします。このとき直線\(AB\) の傾きは\(x\)の増加量を\(\Delta x\), \(y\)の増加量を\(\Delta y\)とすると
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ と表されます。
ここで点\(A\) における接線の傾きを求めたいので、直線を点 \(A\) で(指か何かで)押さえつけたまま、直線を下図の点線の直線のようにずらしていく、つまり点\(B\) が点\(A\) に向かって動いていきます。目標は点 \(A\) における接線ですので図のオレンジ色の直線です。
この操作は「数式においては何をしているのか」というと、
\(h\) を限りなく \(0\) に近づけていることに他なりません。
この操作を施された関数はこれからダッシュ「’」を付けることと約束し、次にように数式で表すことになります。$$f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$これが微分の定義式となります。

次に微分係数の定義式を確認します。
「微分係数」とは「微分された関数に何か具体的な値を代入したもの」です。先ほど紹介した定義式の \(x\) を \(a\) に変えたものを含めて3つ紹介します。
\begin{alignat}{2}
&(1) f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\
&(2) f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}\\
&(3) f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{alignat}
\((2)\) と \((3)\) については、ほとんど用いられることはありませんので、
視覚的に理解できれば十分だと思います。以下(2)と(3)を図で示します。


\((2)\) 点 \(A\) を限りなく点 \(B\) に近づけています。
$$f'(a)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h} $$

\((3)\) 点 \(B\) を限りなく点 \(A\) に近づけています。
$$f'(a)=\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

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