sinx/√(1-p^2sin^2x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{\sin x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{2p} \log \frac{1+p}{1-p}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \cos x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{p} \sin^{-1} p\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \sin x \cos x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{p^2}(1-\sqrt{1-p^2})
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) から \((3)\) まで次の級数展開を用います。$$(1-x)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3+$$となるので、この式の \(x\) を \(p^2 \sin^2 x\) に書き換えると$$(1-p^2 \sin^2 x)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}p^2 \sin^2 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \sin^4 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \sin^6 x+ \cdots$$この式を被積分関数に代入して解きます。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \sin x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x\left(1+\frac{1}{2}p^2 \sin^2 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \sin^4 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \sin^6 x+ \cdots\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left( \sin x+\frac{1}{2}p^2 \sin^3 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \sin^5 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \sin^7 x+ \cdots\right)dx
\end{alignat}それぞれ \( \sin x\) の積分の値は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin xdx=1, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^3 xdx=\frac{2}{3}\\
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^5 xdx=\frac{4 \cdot 2}{5\cdot 3}, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^7 xdx=\frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 3}, \cdots
\end{alignat}となるので、上記の積分の結果は
\begin{alignat}{2}
&=1+\frac{1}{3}p^2+\frac{1}{5}p^4+\frac{1}{7}p^6+ \cdots\\
&=\frac{1}{2p}\cdot 2\left(p+\frac{1}{3}p^3+\frac{1}{5}p^5+\frac{1}{7}p^7+ \cdots\right)\\
&=\frac{1}{2p} \log \frac{1+p}{1-p}
\end{alignat}



\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \cos x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x\left(1+\frac{1}{2}p^2 \sin^2 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \sin^4 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \sin^6 x+ \cdots\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left( \cos x+\frac{1}{2}p^2 \cos x \sin^2 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \cos x \sin^4 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \cos x \sin^6 x+ \cdots\right)dx
\end{alignat} それぞれ \( \cos x \sin^{2k} x\) の積分の値は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos xdx=1, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^2 xdx=\frac{1}{3}\\
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^4 xdx=\frac{1}{5}, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^6 xdx=\frac{1}{7}, \cdots
\end{alignat}となるので、上記の積分の結果は
\begin{alignat}{2}
&=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}p^2+\frac{1}{5}\cdot \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4+\frac{1}{7}\cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6+ \cdots\\
&=\frac{1}{p}\left(p+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}p^3+\frac{1}{5}\cdot \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^5+\frac{1}{7}\cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^7+ \cdots\right)\\
&=\frac{1}{p}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}p^{2n+1}\right\}
\end{alignat}ここで$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{\{(2n)!!\}^2}=\frac{(2n)!}{(2^n)^2(n!)^2}=\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$$であるから$$=\frac{1}{p}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)} p^{2n+1}\right\}=\frac{1}{p} \sin^{-1} p$$



\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \sin x \cos x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos x\left(1+\frac{1}{2}p^2 \sin^2 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \sin^4 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \sin^6 x+ \cdots\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left( \sin x \cos x+\frac{1}{2}p^2 \cos x \sin^3 x+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^4 \cos x \sin^5 x+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6 \cos x \sin^7 x+ \cdots\right)dx
\end{alignat} それぞれ \( \cos x \sin^{2k+1} x\) の積分の値は
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos xdx=\frac{1}{2}, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^3 xdx=\frac{1}{4}\\
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^5 xdx=\frac{1}{6}, \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \sin^7 xdx=\frac{1}{8}, \cdots
\end{alignat}となるので、上記の積分の結果は
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}p^2+\frac{1}{6} \cdot \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4}p^4+\frac{1}{8}\cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^6+\cdots\\
&=\frac{1}{p^2}\left(\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}p^4+\frac{1}{6} \cdot \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4}p^6+\frac{1}{8}\cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^8+\cdots\right)\\
\end{alignat}括弧内の級数について、下記の式で$$(1+x)^α=1+αx+\frac{α(α-1)}{2}x^2+\frac{α(α-1)(α-2)}{3}x^3+\cdots $$\(\displaystyle x=-p^2, α=\frac{1}{2}\) とすると
\begin{alignat}{2}
&(1-p^2)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}p^2+\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}p^4-\frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3}p^6+ \cdots\\
&        =1-\frac{1}{2}p^2-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}p^4-\frac{1}{6}\cdot \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}p^6- \cdots
\end{alignat}1からこの式を引くと$$1-\sqrt{1-p^2}=\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}p^4+\frac{1}{6} \cdot \frac{1\cdot 3}{2 \cdot 4}p^6+\frac{1}{8}\cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}p^8+\cdots$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{ \sin x \cos x}{\sqrt{1-p^2 \sin^2 x}}dx=\frac{1}{p^2}(1-\sqrt{1-p^2})$$

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