チェビシェフ多項式[11]

チェビシェフ多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int U_n(x)dx&=\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}+C\\
(2)  \displaystyle\int T_n(x)dx&=\frac{1}{2}\left\{\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(x)}{n-1}\right\}+C\\
&=\frac{nT_{n+1}(x)}{n^2-1}-\frac{xT_n(x)}{n-1}+C\\
\end{alignat}\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)dx=\frac{1+(-1)^{n}}{n+1}\\
&(4)  \displaystyle\int_{-1}^1 T_n(x)dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n=1)\\
\displaystyle \frac{1+(-1)^n}{1-n^2}  &(n≠1)\\
\end{cases}\\
&(5)  \displaystyle\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n≠m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  &(n=m≠0)\\
\displaystyle π  &(n=m=0)\\
\end{cases}\\
&(6)  \displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n≠m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  &(n=m)\\
\end{cases}
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)











<証明>

次のチェビシェフ多項式の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  T_n’(x)=nU_{n-1}(x)\\
&(B)  2T_n(x)=\frac{T_{n+1}’(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}’(x)}{n-1}\\
&(C)  T_{n+1}(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)=0\\
\end{alignat}





\((1)\) \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int U_n(x)dx&=\frac{1}{n+1}\displaystyle\int (n+1)U_n(x)dx\\
&=\frac{1}{n+1}\displaystyle\int T_{n+1}’(x)dx=\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}+C\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int U_n(x)dx=\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}+C$$







\((2)\) \((B)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int T_n(x)dx&=\frac{1}{2}\displaystyle\int \displaystyle \left\{\frac{T_{n+1}’(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}’(x)}{n-1}\right\}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(x)}{n-1}\right\}+C\\
\end{alignat}変形を続けます。\((C)\) の式を移項します。$$T_{n-1}(x)=-T_{n+1}(x)+2xT_{n-1}(x)$$この式を元の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}+\frac{T_{n+1}(x)-2xT_n(x)}{n-1}\right\}+C\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\right)T_{n+1}(x)-\frac{xT_{n}(x)}{n-1}+C\\
&=\frac{nT_{n+1}(x)}{n^2-1}-\frac{xT_n(x)}{n-1}+C\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int T_n(x)dx=\frac{1}{2}\left\{\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(x)}{n-1}\right\}+C=\frac{nT_{n+1}(x)}{n^2-1}-\frac{xT_n(x)}{n-1}+C$$








\((3)\) \((1)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)dx&=\left[\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}\right]_{-1}^1=\frac{T_{n+1}(1)-T_{n+1}(-1)}{n+1}\\
&=\frac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}=\frac{1+(-1)^{n}}{n+1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)dx=\frac{1+(-1)^{n}}{n+1}$$









\((4)\) \((2)\) の結果を用いますが、

分母に \(n-1\) が現れるので \(n=1\) と \(n≠1\) で分けて解きます。

\((α)\) \(n=1\) のとき$$\displaystyle\int_{-1}^1 T_1(x)dx=\displaystyle\int_{-1}^1 xdx=0$$

\((β)\) \(n≠1\) のとき
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 T_n(x)dx&=\frac{1}{2}\left[\frac{T_{n+1}(x)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(x)}{n-1}\right]_{-1}^1\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{T_{n+1}(1)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(1)}{n-1}-\left\{\frac{T_{n+1}(-1)}{n+1}-\frac{T_{n-1}(-1)}{n-1}\right\}\right]_{-1}^1\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}-{\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}}+\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{1-n}+\frac{1}{1+n}+{\frac{(-1)^{n}}{1-n}}+\frac{(-1)^{n}}{1+n}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{2}{(1-n)(1+n)}+\frac{2(-1)^n}{(1-n)(1+n)}\right\}\\
&=\frac{1}{1-n^2}+\frac{(-1)^n}{1-n^2}=\frac{1+(-1)^n}{1-n^2}
\end{alignat}以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 T_n(x)dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n=1)\\
\displaystyle \frac{1+(-1)^n}{1-n^2}  &(n≠1)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}








\((5)\) \(x=\cos θ\) と置きます。\((dx=-\sin θdθ)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_π^0 \frac{T_n(\cos θ)T_m( \cos θ)}{\sqrt{1-\cos^2 θ}} \cdot (- \sin θ)dθ\\
&=\displaystyle\int_0^π T_n(\cos θ)T_m( \cos θ)dθ\\
&=\displaystyle\int_0^π \cos nθ \cos mθ dθ\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \{\cos (n+m)θ+\cos (n-m)θ\}dθ\\
\end{alignat}ここから分岐します。

\((α)\) \(n≠m\) のとき$$=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n+m)θ}{n+m}+\frac{\sin (n-m)θ}{n-m}\right]_0^π=0$$
\((β)\) \(n=m≠0\) のとき$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π (\cos 2nθ-1)dθ=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2n}\sin 2nθ+θ\right]_0^π=\frac{π}{2}$$
\((γ)\) \(n=m=0\) のとき$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π 2θ=\displaystyle\int_0^π dθ=[θ]_0^π=π$$
以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{T_n(x)T_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n≠m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  &(n=m≠0)\\
\displaystyle π  &(n=m=0)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}








\((6)\) \(x=\cos θ\) と置きます。\((dx=-\sin θdθ)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx&=\displaystyle\int_π^0 U_n(\cos θ)U_m( \cos θ)\sqrt{1-\cos^2 θ}\cdot (- \sin θ)dθ\\
&=\displaystyle\int_0^π U_n(\cos θ)U_m( \cos θ) \sin^2 θdθ\\
&=\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ} \cdot \frac{\sin (m+1)θ}{\sin θ} \cdot \sin^2 θdθ\\
&=\displaystyle\int_0^π \sin (n+1)θ\sin (m+1)θdθ\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \{\cos (n+m+2)θ-\cos (n-m)θ\}dθ\\
\end{alignat}ここから分岐します。

\((α)\) \(n≠m\) のとき$$=-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (n+m+2)θ}{n+m+2}-\frac{\sin (n-m)θ}{n-m}\right]_0^π=0$$
\((β)\) \(n=m\) のとき$$=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \{\cos (2n+2)θ-1\}dθ=-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (2n+2)θ}{2n+2}-θ\right]_0^π=\frac{π}{2}$$
以上より
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle 0  &(n≠m)\\
\displaystyle \frac{π}{2}  &(n=m)\\
\end{cases}
\end{alignat}

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