チェビシェフ多項式[7]

チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_n’(x)=nU_{n-1}(x)\\
&(2)  (1-x^2)T_n’(x)=n\{xT_n(x)-T_{n+1}(x)\}\\
&(3)  (1-x^2)T_n’(x)=n\{T_{n-1}-xT_n(x)\}\\
&(4)  U_n’(x)=\frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}\\
&(5)  T_n’’(x)=\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}\\
&(6)  (1-x^2)U_n’(x)=(n+2)xU_n(x)-(n+1)U_{n+1}(x)\\
&(7)  (1-x^2)U_n’(x)=(n+1)U_{n-1}(x)-nxU_{n}(x)\\
\end{alignat}














<証明>

次のチェビシェフ多項式の等式を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A)  T_{n+1}(x)=xT_n(x)-(1-x^2)U_{n-1}(x)\\
&(B)  T_{n+1}(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)=0\\
&(C)  U_{n+1}(x)-2xU_n(x)+U_{n-1}(x)=0\\
&(D)  T_n(x)=U_n(x)-xU_{n-1}(x)\\
\end{alignat}



\((1)\) \(x=\cos θ\) より \(\displaystyle \frac{dx}{dθ}=- \sin θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
T_n’(x)&=\frac{d}{dx} T_n(x)=\frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ} \cos nθ\\
&=\left(-\frac{1}{\sin θ}\right) \cdot (-n \sin nθ)\\
&=n \cdot \frac{\sin nθ}{\sin θ}=nU_{n-1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$T_n’(x)=nU_{n-1}(x)$$








\((2)\) \((1)\) の式を代入します。$$(1-x^2)T_n’(x)=(1-x^2) \cdot nU_{n-1}(x)=n \{(1-x^2)U_{n-1}(x)\}$$\((A)\) の式を移項します。$$(1-x^2)U_{n-1}(x)=xT_n(x)-T_{n+1}(x)$$これを元の式に代入します。以上より$$(1-x^2)T_n’(x)=n\{xT_n(x)-T_{n+1}(x)\}$$


\((3)\) \((B)\) の式を移項します。$$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$これを \((2)\) の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)T_n’(x)&=n\{xT_n(x)-T_{n+1}(x)\}\\
&=n\{xT_n(x)-2xT_n(x)+T_{n-1}(x)\}\\
&=n\{T_{n-1}(x)-xT_n(x)+T_{n-1}(x)\}\\
\end{alignat}以上より$$(1-x^2)T_n’(x)=n\{T_{n-1}-xT_n(x)\}$$









\((4)\) \(x=\cos θ\) より \(\displaystyle \frac{dx}{dθ}=- \sin θ\) であるから
\begin{alignat}{2}
U_n’(x)&=\frac{d}{dx} \cdot \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}=\frac{dθ}{dx} \cdot \frac{d}{dθ} \cdot \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}\\
&=\left(-\frac{1}{\sin θ}\right) \cdot \frac{(n+1) \cos (n+1)θ \sin θ-\sin (n+1)θ \cos θ}{\sin^2 θ}\\
&=-\frac{1}{\sin^2 θ} \left\{(n+1) \cos (n+1)θ -\cos θ \cdot \frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}\right\}\\
&=\frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}\\
\end{alignat}以上より$$U_n’(x)=\frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}$$








\((5)\) \((1)\) の式を用います。$$T_n’’(x)=\frac{d}{dx}T_n’(x)=\frac{d}{dx} \{nU_{n-1}(x)\}=nU_{n-1}’(x)$$\((4)\) の \(n\) を \(n-1\) とした式を代入します。$$T_n’’(x)=n \cdot \frac{n T_{n}(x)-xU_{n-1}(x)}{x^2-1}$$\((C)\) の式を移項します。$$xU_{n-1}(x)=U_n(x)-T_n(x)$$これを元の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
T_n’’(x)&=n \cdot \frac{n T_{n}(x)-xU_{n-1}(x)}{x^2-1}\\
&=n \cdot \frac{n T_{n}(x)-U_n(x)+T_n(x)}{x^2-1}\\
&=\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}\\
\end{alignat}以上より$$T_n’’(x)=\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}$$







\((6)\) \((5)\) の式の \(n\) を \(n+1\) とします。$$T_{n+1}’’(x)=\frac{(n+1)(n+2) T_{n+1}(x)-(n+1)U_{n+1}(x)}{x^2-1}$$\((1)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。\(n\) を \(n+1\) とします。$$T_n’’(x)=nU_{n-1}’(x),  T_{n+1}’’(x)=(n+1)U_{n}’(x)$$この式を \(1\) つ目の式に代入します。$$(n+1)U_{n}’(x)=\frac{(n+1)(n+2) T_{n+1}(x)-(n+1)U_{n+1}(x)}{x^2-1}$$両辺を \(n+1\) で割ります。分母を払います。
\begin{alignat}{2}
U_{n}’(x)&=\frac{(n+2) T_{n+1}(x)-U_{n+1}(x)}{x^2-1}\\
(1-x^2)U_n’(x)&=U_{n+1}(x)-(n+2)T_{n+1}(x)\\
\end{alignat}\((D)\) の式の \(n\) を \(n+1\) とします。$$T_{n+1}(x)=U_{n+1}(x)-xU_{n}(x)$$この式を元の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)U_n’(x)&=U_{n+1}(x)-(n+2)\{U_{n+1}(x)-xU_{n}(x)\}\\
&=U_{n+1}(x)-(n+2)U_{n+1}(x)+(n+2)xU_n(x)\\
&=(n+2)xU_n(x)-(n+1)U_{n+1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$(1-x^2)U_n’(x)=(n+2)xU_n(x)-(n+1)U_{n+1}(x)$$







\((7)\) \((6)\) の式に \((C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)U_n’(x)&=(n+2)xU_n(x)-(n+1)U_{n+1}(x)\\
&=(n+2)xU_n(x)-(n+1)\{2xU_n(x)-U_{n-1}(x)\}\\
&=(n+2)xU_n(x)-(2n+2)xU_n(x)+(n+1)U_{n-1}(x)\\
&=(n+1)U_{n-1}(x)-nxU_{n}(x)\\
\end{alignat}以上より$$(1-x^2)U_n’(x)=(n+1)U_{n-1}(x)-nxU_{n}(x)$$

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