チェビシェフ多項式[8]

チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_n’(1)=n^2\\
&(2)  U_n’(1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\
&(3)  T_n’(-1)=(-1)^{n-1}n^2\\
&(4)  U_n’(-1)=\frac{(-1)^{n-1}}{3}n(n+1)(n+2)\\
&(5)  T_n’’(1)=\frac{1}{3}n^2(n-1)(n+1)\\
&(6)  T_n’’(-1)=\frac{(-1)^n}{3}n^2(n-1)(n+1)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)












<証明>

次のチェビシェフ多項式における等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  T_n’(x)=nU_{n-1}(x)\\
&(B)  U_n’(x)=\frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}\\
&(C)  T_n’’(x)=\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}\\
\end{alignat}







\((1)\) \((A)\) の式を用います。$$T_n’(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1} T_n’(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1} nU_{n-1}(x)=nU_{n-1}(1)=n \cdot n =n^2$$





\((2)\) \((B)\) の式を用います。求める値を \(I\) とします。$$I=U_n’(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1}U_n’(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}$$\(x \to 1\) をしたとき \(T_{n+1}(1)=1,\,U_n(1)=n+1\) であるので、

ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
I&=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(n+1) T_{n+1}’(x)-\{U_n(x)+xU_n’(x)\}}{2x}\\
&=\frac{(n+1) T_{n+1}’(1)-U_n(1)-U_n’(1)}{2}\\
2I&=(n+1) \cdot (n+1)^2-(n+1)-I\\
3I&=(n+1)\{(n+1)^2-1\}=(n+1)(n^2+2n)=n(n+1)(n+2)\\
I&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\end{alignat}以上より$$U_n’(1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$$







\((3)\) \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
T_n’(-1)&=\displaystyle\lim_{x \to -1} T_n’(x)=\displaystyle\lim_{x \to -1} nU_{n-1}(x)\\
&=nU_{n-1}(-1)=n \cdot (-1)^{n-1} \cdot n =(-1)^{n-1}n^2\\
\end{alignat}








\((4)\) \((B)\) の式を用います。求める値を \(I\) とします。$$I=U_n’(-1)=\displaystyle\lim_{x \to -1}U_n’(x)=\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(n+1) T_{n+1}(x)-xU_n(x)}{x^2-1}$$\(x \to 1\) をしたとき \(T_{n+1}(-1)=(-1)^{n+1},\,U_n(-1)=(-1)^n(n+1)\) であるので、

ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
I&=\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{(n+1) T_{n+1}’(x)-\{U_n(x)+xU_n’(x)\}}{2x}\\
&=\frac{(n+1) T_{n+1}’(-1)-U_n(-1)+U_n’(-1)}{-2}\\
-2I&=(n+1) \cdot (-1)^n(n+1)^2-(-1)^n(n+1)+I\\
-3I&=(-1)^n(n+1)\{(n+1)^2-1\}=(-1)^n(n+1)(n^2+2n)=(-1)^nn(n+1)(n+2)\\
I&=\frac{(-1)^{n-1}}{3}n(n+1)(n+2)
\end{alignat}以上より$$U_n’(-1)=\frac{(-1)^{n-1}}{3}n(n+1)(n+2)$$








\((5)\) \((C)\) の式を用います。$$T_n’’(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1} T_n’’(x)=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}$$\(x \to 1\) をしたとき \(T_{n}(1)=1,\,U_n(1)=n+1\) であるので、

ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{n(n+1) T_{n}’(x)-nU_n’(x)}{2x}\\
&=\frac{n(n+1) T_{n}’(1)-nU_n’(1)}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left\{n(n+1) \cdot n^2 -n \cdot \frac{1}{3}n (n+1)(n+2)\right\}\\
&=\frac{n^2(n+1)}{6} \{3n-(n+2)\}\\
&=\frac{n^2(n+1)}{6} \cdot 2(n-1)=\frac{1}{3}n^2(n-1)(n+1)\\
\end{alignat}以上より$$T_n’’(1)=\frac{1}{3}n^2(n-1)(n+1)$$








\((6)\) \((C)\) の式を用います。$$T_n’’(-1)=\displaystyle\lim_{x \to -1} T_n’’(x)=\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{n(n+1) T_{n}(x)-nU_n(x)}{x^2-1}$$\(x \to -1\) をしたとき \(T_{n}(-1)=(-1)^n,\,U_n(-1)=(-1)^n(n+1)\) であるので、

ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\lim_{x \to -1}\frac{n(n+1) T_{n}’(x)-nU_n’(x)}{2x}\\
&=\frac{n(n+1) T_{n}’(-1)-nU_n’(-1)}{-2}\\
&=-\frac{1}{2}\left\{n(n+1) \cdot (-1)^{n-1}n^2 -n \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{3}n (n+1)(n+2)\right\}\\
&=\frac{(-1)^n \cdot n^2(n+1)}{6} \{3n-(n+2)\}\\
&=\frac{(-1)^n \cdot n^2(n+1)}{6} \cdot 2(n-1)=\frac{(-1)^n}{3}n^2(n-1)(n+1)\\
\end{alignat}以上より$$T_n’’(-1)=\frac{(-1)^n}{3}n^2(n-1)(n+1)$$


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